[论文解读] The Batchelor spectrum of passive scalar turbulence in stochastic fluid mechanics

Jacob Bedrossian, Alex Blumenthal+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2019

Fluid Dynamics and Turbulent Flows被引用 12

一句话总结

本文首次对湍流中被动标量谱的 Batchelor 1959 年预测提供了严格的数学证明，表明在小扩散率极限（$κ \to 0$）下，二维和三维随机 Navier-Stokes 流中的被动标量的累积功率谱在小尺度上收敛至 $|k|^{-1}$ 标度。该结果通过拉格朗日混沌与标量混合的定量分析建立，得到具有异常通量和预测的 Batchelor 谱的 $H^{-\epsilon}$ 中的统计平稳弱解。

ABSTRACT

In 1959, Batchelor predicted that passive scalars advected in fluids at finite Reynolds number with small diffusivity $\kappa$ should display a $|k|^{-1}$ power spectrum over a small-scale inertial range in a statistically stationary experiment. This prediction has been experimentally and numerically tested extensively in the physics and engineering literature and is a core prediction of passive scalar turbulence. In this article we provide the first mathematically rigorous proof of Batchelor's prediction on the cumulative power spectrum in the $\kappa o 0$ limit. We consider fluids governed by the 2D Navier-Stokes equations and 3D hyperviscous Navier-Stokes equations in $\mathbb{T}^d$ forced by sufficiently regular, nondegenerate stochastic forcing at fixed (arbitrary) Reynolds number. The scalar is subjected to a smooth-in-space, white-in-time stochastic source, and evolves by advection-diffusion with diffusivity $\kappa > 0$. Our results rely on the quantitative understanding of Lagrangian chaos and passive scalar mixing established in our recent works. In the $\kappa o 0$ limit, we obtain statistically stationary, weak solutions in $H^{-\epsilon}$ to the stochastically-forced advection problem without diffusivity. These solutions are almost-surely not locally integrable functions, have a non-vanishing average anomalous flux, and satisfy the Batchelor spectrum at all sufficiently small scales. We also prove an Onsager-type criticality result which shows that no such dissipative, weak solutions with a little more regularity can exist.

研究动机与目标

• 严格证明在小扩散率下湍流中被动标量的 $|k|^{-1}$ 功率谱符合 Batchelor 的预测。
• 在 $κ \to 0$ 极限下，建立无扩散率的对流-扩散方程的统计平稳弱解存在于 $H^{-\epsilon}$ 中。
• 证明这些解表现出非零的平均异常通量，与湍流标量输运一致。
• 证明类似 Onsager 的临界性结果，表明不存在更高正则性的耗散弱解可支持 $κ \to 0$ 极限下观察到的异常通量。

提出的方法

• 分析在固定雷诺数下受非退化、足够光滑的随机强迫驱动的二维 Navier-Stokes 方程和三维超粘性 Navier-Stokes 方程。
• 通过小扩散率 $κ > 0$ 的对流-扩散方程研究标量演化，其驱动源为在空间上光滑、在时间上白噪声的随机源。
• 利用先前工作中关于拉格朗日混沌和被动标量混合的定量结果，控制标量场的小尺度行为。
• 利用统计平稳性和弱解理论，在 $κ \to 0$ 极限下证明累积功率谱收敛至 $|k|^{-1}$ 形式。
• 推导出无扩散率极限方程在 $H^{-\epsilon}$ 中弱解的存在性，表明它们几乎必然不是局部可积函数。
• 通过证明更高正则性的解无法支持 $κ \to 0$ 极限下观察到的异常通量，建立类似 Onsager 的临界性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在由 Navier-Stokes 方程控制的随机流体中，被动标量的 Batchelor 谱 $|k|^{-1}$ 是否在 $κ \to 0$ 极限下出现？
• RQ2 无扩散率的对流问题的极限弱解的正则性和统计结构是什么？
• RQ3 在 $κ \to 0$ 极限下，标量输运中的异常通量能否被严格确立？
• RQ4 是否存在一个临界正则性阈值，超过该阈值的耗散弱解无法支持观察到的异常通量，如同 Onsager 对能量守恒的猜想一样？

主要发现

• 在 $κ \to 0$ 极限下，被动标量的累积功率谱在所有足够小的尺度上收敛至 Batchelor 预测的 $|k|^{-1}$ 标度。
• 极限弱解存在于 $H^{-\epsilon}$ 中，且几乎必然不是局部可积函数，表明其在小尺度上具有奇异行为。
• 这些解表现出非零的平均异常通量，证实了在无扩散率情况下的湍流标量输运。
• 这些解是统计平稳的，并作为小但正的 $κ > 0$ 时对流-扩散方程解的极限而出现。
• 证明了类似 Onsager 的临界性结果，表明不存在比 $H^{-\epsilon}$ 正则性更高的耗散弱解可支持极限中观察到的异常通量。
• 该结果在非退化、足够光滑的随机强迫下，对二维 Navier-Stokes 方程和三维超粘性 Navier-Stokes 方程均成立。