[论文解读] The behaviour of the complete eigenstructure of a polynomial matrix under a generic rational transformation

Vanni Noferini|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2011

Matrix Theory and Algorithms参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文建立了多项式矩阵在一般有理变量替换下其特征结构变换的完整理论框架。证明了初等因子和最小指标的缩放规律，其取决于有理变换根的重数，将先前关于Möbius和Dickson变换的结果推广至任意有理函数。

ABSTRACT

Given a polynomial matrix P(x) of grade g and a rational function $x(y) = n(y)/d(y)$, where $n(y)$ and $d(y)$ are coprime nonzero scalar polynomials, the polynomial matrix $Q(y) :=[d(y)]^gP(x(y))$ is defined. The complete eigenstructures of $P(x)$ and $Q(y)$ are related, including characteristic values, elementary divisors and minimal indices. A Theorem on the matter, valid in the most general hypotheses, is stated and proved.

研究动机与目标

• 将先前关于有理变换下特征结构保持性的结果推广，从Möbius和Dickson情形扩展至任意有理函数。
• 刻画多项式矩阵在一般有理变换下初等因子和最小指标的变化规律。
• 提供一个适用于任意域（而不仅代数闭域）的统一理论。
• 建立原矩阵与变换后矩阵之间若尔当代数链的精确对应关系。
• 为基于变换预条件的多项式特征值问题数值方法设计提供支持。

提出的方法

• 定义变换 Q(y) = [d(y)]^g * P(n(y)/d(y))，其中 P(x) 为次数 g 的多项式矩阵，x(y) = n(y)/d(y) 为有理函数。
• 利用史密斯标准形和单模变换，在域上分析 P(x) 和 Q(y) 的结构。
• 引入根多项式及其阶数，以刻画有限特征值处的若尔当代数链和初等因子。
• 证明：若 (x - x₀)^ℓ 是 P(x) 的初等因子，且 y₀ 是方程 x(y) = x₀ 的重数为 m 的根，则 (y - y₀)^{mℓ} 是 Q(y) 的初等因子。
• 通过将 P(x) 的左/右最小基与 Q(y) 的左/右最小基关联，分析最小指标的行为，表明其按变换的次数缩放。
• 利用根多项式提升技术，显式地将 P(x) 在 x₀ 处的若尔当代数链映射到 Q(y) 在 x(y) = x₀ 的根 y₀ 处的若尔当代数链。

实验结果

研究问题

• RQ1 多项式矩阵的完整特征结构在一般有理变量替换下如何变换？
• RQ2 P(x) 的初等因子与变换后矩阵 Q(y) 的初等因子之间的确切关系是什么？
• RQ3 在有理变换下，P(x) 的最小指标如何与 Q(y) 的最小指标相关？
• RQ4 此类变换下，无穷初等因子和若尔当代数链会发生什么变化？
• RQ5 变换规则能否从Möbius和Dickson情形推广至任意有理函数？

主要发现

• P(x) 中形如 (x - x₀)^ℓ 的初等因子，会变换为 Q(y) 中形如 (y - y₀)^{mℓ} 的初等因子，其中 m 是 y₀ 作为方程 x(y) = x₀ 的根的重数。
• P(x) 的左/右最小指标乘以有理变换的次数，即 deg(x(y)) = max{deg n(y), deg d(y)}。
• P(x) 的无穷初等因子会变换为 Q(y) 中在 x(y) 的无穷原像处的有限初等因子，其重数按变换的次数缩放。
• P(x) 在有限特征值 x₀ 处的若尔当代数链，会被映射到 Q(y) 在方程 x(y) = x₀ 的根 y₀ 处的若尔当代数链，其阶数按根的重数 m 缩放。
• 该变换保持强线性化矩阵的克罗内克结构，从而支持为多项式特征值问题设计结构保持的数值方法。
• 通过使用代数闭包论证和单模等价性，该结果在任意域上成立，而不仅限于代数闭域。