[论文解读] The Berlekamp-Massey Algorithm via Minimal Polynomials

Graham H. Norton|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2010

Coding theory and cryptography参考文献 21被引用 7

一句话总结

本文通过洛朗多项式和索引函数，在交换整环上提出了一种递归最小多项式定理，实现了对伯雷克兰普-梅斯利算法的全新推导。该方法建立了一个无除法、迭代的算法，其在域上的乘法次数上界改进为 $2\lfloor n^2/4 \rfloor$，为经典表述提供了一种透明且代数基础坚实的替代方案。

ABSTRACT

We present a recursive minimal polynomial theorem for finite sequences over a commutative integral domain $D$. This theorem is relative to any element of $D$. The ingredients are: the arithmetic of Laurent polynomials over $D$, a recursive 'index function' and simple mathematical induction. Taking reciprocals gives a 'Berlekamp-Massey theorem' i.e. a recursive construction of the polynomials arising in the Berlekamp-Massey algorithm, relative to any element of $D$. The recursive theorem readily yields the iterative minimal polynomial algorithm due to the author and a transparent derivation of the iterative Berlekamp-Massey algorithm. We give an upper bound for the sum of the linear complexities of $s$ which is tight if $s$ has a perfect linear complexity profile. This implies that over a field, both iterative algorithms require at most $2\lfloor \frac{n^2}{4} floor$ multiplications.

研究动机与目标

• 为交换整环上的有限序列，利用洛朗多项式算术建立递归最小多项式定理。
• 通过递归索引函数和简单归纳法重新推导伯雷克兰普-梅斯利算法，避免依赖扩展欧几里得算法。
• 提供一种透明且代数基础坚实的迭代伯雷克兰普-梅斯利算法推导，该算法无除法，适用于任意交换幺环整环。
• 为线性复杂度轮廓完美的序列，建立其线性复杂度之和的紧致上界。
• 推导出在 $\mathbb{F}_q$ 上长度为 $n$ 且具有给定线性复杂度的序列数量的闭式表达式。

提出的方法

• 本文引入一种递归的'索引函数'，以替代伯雷克兰普-梅斯利算法中的标准 $m$-参数，从而实现最小多项式的递归构造。
• 利用交换整环 $D$ 上的洛朗多项式环 $D[x^{-1}, x]$ 的代数结构，定义有限序列的零化多项式与最小多项式。
• 通过序列长度的归纳法递归构造最小多项式，仅依赖于无零因子性质和基本洛朗多项式算术。
• 对递归最小多项式取逆，得到递归的伯雷克兰普-梅斯利定理，进而导出一种无除法的迭代算法。
• 通过线性复杂度轮廓的结构推导复杂度界，尤其针对具有完美轮廓的序列，得到紧致的乘法界。
• 使用归纳法推导出在 $\mathbb{F}_q$ 上长度为 $n$ 且具有给定线性复杂度 $\ell$ 的序列的确切数量，且不依赖于任何特定的算法形式化。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在交换整环上，通过洛朗多项式和递归最小多项式构造，重新推导伯雷克兰普-梅斯利算法？
• RQ2 对于长度为 $n$ 且具有完美线性复杂度轮廓的序列，其线性复杂度之和的最紧可能上界是什么？
• RQ3 能否直接从递归最小多项式定理推导出一种无除法的迭代伯雷克兰普-梅斯利算法？
• RQ4 在 $\mathbb{F}_q$ 上，长度为 $n$ 且具有给定线性复杂度 $\ell$ 的序列的确切数量是多少？
• RQ5 该迭代算法的平均情况复杂度与经典表述相比如何？能否独立于算法实现推导出该复杂度？

主要发现

• 本文利用洛朗多项式和一种新颖的索引函数，建立了递归最小多项式定理，为在任意交换整环上实现伯雷克兰普-梅斯利算法提供了基础。
• 所推导出的迭代伯雷克兰普-梅斯利算法无除法，且比以往的表述更简单，例如文献 [9, p.148] 中的版本，其推导过程透明。
• 在域 $\mathbb{F}$ 上，该算法所需的乘法次数最多为 $2\lfloor n^2/4 \rfloor$，优于先前的 $\lfloor 3n^2/2 \rfloor$ 上界。
• 对于 $\mathbb{F}_q$ 上的序列，长度为 $n$ 且线性复杂度为 $\ell$ 的序列数量为：当 $1 \leq \ell \leq \lfloor n/2 \rfloor$ 时为 $q^{2\ell - 2n - 1}(q - 1)$，当 $\lfloor n/2 \rfloor < \ell \leq n$ 时为 $q^{2n - 2\ell}(q - 1)$。
• 本文提供了对 [7, Proposition 1] 中平均情况复杂度公式的直接归纳证明，独立于算法实现，确认了按线性复杂度分布的序列数量。
• 当序列具有完美线性复杂度轮廓时，线性复杂度之和的上界是紧致的，验证了所推导复杂度界的最优性。