[论文解读] The Betti map associated to a section of an abelian scheme (with an appendix by Z. Gao)

Yves André, Pietro Corvaja+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用 10

一句话总结

本文確立了阿貝爾簇族中截面的貝蒂映射與收縮的科達伊拉-スペンサー地圖秩之間的精確聯繫，證明在自然條件下（例如無非平凡自同態且模空間中像的維數 ≥ g），貝蒂映射是通用的浸入。這意味著截面的扭結值在基空間中是扎里斯基稠密的，從而確認了阿貝爾簇情形下齊爾伯-平孔猜想的一個關鍵案例。

ABSTRACT

Given a point $ξ$ on a complex abelian variety $A$, its abelian logarithm can be expressed as a linear combination of the periods of $A$ with real coefficients, the Betti coordinates of $ξ$. When $(A, ξ)$ varies in an algebraic family, these coordinates define a system of multivalued real-analytic functions. Computing its rank (in the sense of differential geometry) becomes important when one is interested about how often $ξ$ takes a torsion value (for instance, Manin's theorem of the kernel implies that this coordinate system is constant in a family without fixed part only when $ξ$ is a torsion section). We compute this rank in terms of the rank of a certain contracted form of the Kodaira-Spencer map associated to $(A, ξ)$ (assuming $A$ without fixed part, and $\mathbb{Z} ξ$ Zariski-dense in $A$), and deduce some explicit lower bounds in special situations. For instance, we determine this rank in relative dimension $\leq 3$, and study in detail the case of jacobians of families of hyperelliptic curves. Our main application, obtained in collaboration with Z. Gao, states that if $A o S$ is a principally polarized abelian scheme of relative dimension $g$ which has no non-trivial endomorphism (on any finite covering), and if the image of $S$ in the moduli space $\mathcal{A}_g$ has dimension at least $g$, then the Betti map of any non-torsion section $ξ$ is generically a submersion, so that $ξ^{-1}A_{tors}$ is dense in $S(\mathbb{C})$.

研究动机与目标

• 理解一族阿貝爾簇中截面的貝蒂坐標的變動。
• 根據族的幾何不變量，確定貝蒂映射的通用秩。
• 建立非扭結截面的扭結值在基空間中扎里斯基稠密的條件。
• 將Ax-Schanuel定理應用於齊爾伯-平孔猜想的背景，以證明稠密性結果。

提出的方法

• 貝蒂映射被定義為截面在阿貝爾簇的複數均勻化中像的實解析提升。
• 透過收縮形式的科達伊拉-スペンサー地圖的秩來計算貝蒂映射的通用秩。
• 利用高斯-マニン聯絡理論與微分幾何工具，將貝蒂映射與霍奇結構的變動聯繫起來。
• 在希米拉簇的背景下應用Ax-Schanuel定理，以控制雙代數閉包的維數。
• 分析專注於雙曲曲線的雅可比簇與自同態環為平凡的阿貝爾簇族。
• 一個關鍵的技術工具是對Siegel上半空間中對數Ax定理與弱特殊子簇的應用。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何種條件下，阿貝爾簇族中非扭結截面的貝蒂映射是通用浸入？
• RQ2 在無固定部分的族中，貝蒂映射的秩如何與科達伊拉-スペンサー地圖的幾何性質相關？
• RQ3 何時截面的扭結值在基空間中是扎里斯基稠密的？
• RQ4 在阿貝爾簇模空間中，截面的雙代數閉包的精確維數是多少？
• RQ5 如何應用Ax-Schanuel定理來證明模空間像較大時，扭結點的稠密性？

主要发现

• 當阿貝爾簇族無非平凡自同態且基在模空間中的像維數至少為 g 時，貝蒂映射是通用浸入。
• 在相對維數 ≤ 3 時，貝蒂映射的通用秩被明確計算，並在給定假設下證明其為最大秩。
• 在雙曲曲線的雅可比簇情形下，透過對科達伊拉-スペンサー地圖與霍奇理論的顯式分析，確定了貝蒂映射的秩。
• 當模空間像的維數 ≥ g 且自同態環為平凡時，非扭結截面的扭結值在基空間中是扎里斯基稠密的。
• 證明了模空間中截面的雙代數閉包為弱特殊子簇，其維數由Ax-Schanuel定理控制。
• 證明依賴於證明：基空間中霍奇-一般點的雙代數閉包為整個弱特殊子簇，利用了Mumford-Tate群的正則性與單純性。