[论文解读] The Bi-periodic Fibonacci Octonions

Nazmiye Yılmaz, Yasin Yazlık+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2016

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 27被引用 4

一句话总结

本文通过将双周期斐波那契数扩展到八元数代数，引入了双周期斐波那契八元数，推导出其生成函数和闭式Binet型公式。主要贡献在于建立了这些八元数的求和公式，推广了先前关于斐波那契和佩尔八元数的研究成果，并通过参数化代数结构揭示了与广义斐波那契序列的联系。

ABSTRACT

In this paper, by using bi-periodic Fibonacci numbers, we introduce the bi-periodic Fibonacci octonions. After that, we derive the generating function of these octonions as well as investigated some properties over them. Also, as another main result of this paper, we give the summations for bi-periodic Fibonacci octonions.

研究动机与目标

• 将双周期斐波那契数的概念扩展到八元数代数，创建一类新的超复数。
• 推导这些双周期斐波那契八元数的生成函数与Binet型公式。
• 研究新八元数结构下的代数性质，包括求和公式。
• 通过引入参数a和b，推广现有关于斐波那契与佩尔八元数的研究结果。
• 为基于双周期序列研究广义八元数提供一个框架。

提出的方法

• 将双周期斐波那契八元数定义为 O_n(a,b) = q_n e_0 + q_{n+1} e_1 + q_{n+2} e_2 + ... + q_{n+7} e_7，其中 {q_n} 为双周期斐波那契序列。
• 利用双周期斐波那契数的Binet公式，推导出以 α 和 β 表示的八元数的闭式表达式，其中 α 和 β 是方程 λ² - abλ - ab = 0 的根。
• 通过底层标量序列的生成函数，构建双周期斐波那契八元数序列的生成函数。
• 应用求和技巧，推导出 ∑O_r(a,b) 在偶数和奇数索引上的闭式表达式，利用几何级数及 α, β 的性质。
• 在推导过程中利用八元数的非结合性与非交换性，同时保持代数一致性。
• 通过设定 a = b = 1（斐波那契）、a = b = 2（佩尔）和 a = b = k（k-斐波那契）八元数，验证结果与已知情形的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将双周期斐波那契序列扩展到八元数代数，以形成一类新的超复数？
• RQ2 双周期斐波那契八元数序列的生成函数是什么？
• RQ3 双周期斐波那契八元数在偶数和奇数索引上的部分和的闭式求和公式是什么？
• RQ4 所推导的公式如何推广已知的斐波那契与佩尔八元数结果？
• RQ5 在双周期斐波那契八元数结构中，哪些代数性质（如对称性与递推关系）得以保持？

主要发现

• 推导出双周期斐波那契八元数的生成函数，其为包含标量双周期斐波那契序列生成函数的有理函数。
• 为 O_n(a,b) 建立了Binet型公式，将其表达为 α^n 与 β^n 的形式，其中 α 和 β 是方程 λ² - abλ - ab = 0 的根。
• 推导出 ∑_{r=0}^{n-1} O_r(a,b) 的求和公式，对偶数和奇数 n 分别给出不同表达式，涉及 O_{n+1}、O_n、O_{n-1}、O_{n-2} 以及包含 α、β、α*、β*、α**、β** 的常数项。
• 当 a = b = 1 时，结果退化为文献 [24] 中定义的标准斐波那契八元数。
• 当 a = b = 2 时，结果对应于文献 [34] 中定义的佩尔八元数。
• 当 a = b = k 时，结果得到 k-斐波那契八元数，证明了对先前工作的推广。