[论文解读] The bicanonical map of surfaces with $p_g=0$ and $K^2\ge 7$, II

Margarida Mendes Lopes, Rita Pardini|ArXiv.org|Nov 13, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文分类了具有 $p_g=0$ 且 $K^2=7$ 或 $8$ 的极小复代数曲面，其双 canonical 映射的次数为 2。证明了此类曲面 admits 一个关于 $ackslash mathbbackslash{P}^1$ 的亏格 3 双椭圆纤维结构，且双 canonical 对合在纤维上限制为双椭圆对合。当 $K^2=8$ 时，纤维结构为等变的，具有 6 个二重纤维；当 $K^2=7$ 时，具有 5 个二重纤维和一个由两部分组成的可约纤维。

ABSTRACT

We study the minimal complex surfaces of general type with $p_g=0$ and $K^2=7$ or 8 whose bicanonical map is not birational. In the paper 'The bicanonical map of surfaces with $p_g=0$ and $K^2\ge 7$' we have shown that if $S$ is such a surface, then the bicanonical map has degree 2. Here we describe precisely such surfaces showing that there is a fibration $f\colon S o \pp^1$ such that: i) the general fibre $F$ of $f$ is a genus 3 hyperelliptic curve; ii) the involution induced by the bicanonical map of $S$ restricts to the hyperelliptic involution of $F$. Furthermore, if $K^2_S=8$, then $f$ is an isotrivial fibration with 6 double fibres, and if $K^2_S=7$, then $f$ has 5 double fibres and it has precisely one fibre with reducible support, consisting of two components.

研究动机与目标

• 对极小复代数曲面进行分类，其类型为一般型，满足 $p_g=0$ 且 $K^2=7$ 或 $8$，且双 canonical 映射非双有理。
• 确定当双 canonical 映射次数为 2 时，此类曲面的几何结构。
• 刻画纤维结构以及双 canonical 对合在纤维上的作用。
• 建立二重纤维和可约纤维的存在性及其性质。

提出的方法

• 利用双 canonical 映射及其次数对满足 $p_g=0$ 且 $K^2=7$ 或 $8$ 的曲面进行分类。
• 应用曲面上对合理论分析双 canonical 对合的作用。
• 构造一个纤维化 $f: S \to \mathbb{P}^1$，其一般纤维为亏格 3 的双椭圆曲线。
• 利用邻接公式和双重覆盖理论，关联商曲面上的 canonical 除子。
• 使用上同调技巧和 Serre 对偶性分析双 canonical 系在纤维上的限制。
• 应用 Zariski 引理和 1-连通除子理论研究基点和纤维分解。

实验结果

研究问题

• RQ1 当双 canonical 映射非双有理时，极小一般型曲面满足 $p_g=0$ 且 $K^2=7$ 或 $8$ 时，其双 canonical 映射的结构是什么？
• RQ2 此类曲面上的双 canonical 对合是否在纤维化的一个纤维上限制为双椭圆对合？
• RQ3 由双 canonical 系诱导的纤维化 $f: S \to \mathbb{P}^1$ 的性质是什么？
• RQ4 在 $K^2=7$ 和 $K^2=8$ 两种情况下，二重纤维和可约纤维的数量与类型有何不同？
• RQ5 在这些情况下，canonical 类 $K_S$ 是否为ample？这对曲面的几何有何影响？

主要发现

• 对于满足 $p_g=0$、$K^2=7$ 或 $8$ 的极小曲面，双 canonical 映射的次数为 2，且双 canonical 对合在一般纤维上诱导出双椭圆对合。
• 当 $K^2_S = 8$ 时，纤维化 $f: S \to \mathbb{P}^1$ 为等变的，且恰好有 6 个二重纤维。
• 当 $K^2_S = 7$ 时，纤维化具有 5 个二重纤维和恰好一个具有可约支撑的纤维，该支撑由两部分组成。
• 在这两种情况下，canonical 除子 $K_S$ 均为 ample。
• 纤维化结构由双 canonical 系的几何性质及对合的作用决定。
• 尽管预期维数为零，此类曲面的模空间并非孤立的，表明其具有丰富的变形理论。