[论文解读] The bicategory of corings

Tomasz Brzeziński, Laiachi El Kaoutit+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2004

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 12被引用 2

一句话总结

本文通过有限生成投射双模引入余代数的基环扩张，建立了一个双范畴框架，其中余代数是双模双范畴中的余单子。它定义了基环相同的余代数之间的模态态射，诱导出余模范畴之间的拉回与上推函子，并刻画了这些函子何时为全忠实或等价函子，关键结果将模态态射的同构与上推函子的自然同构联系起来。

ABSTRACT

To a B-coring and a (B,A)-bimodule that is finitely generated and projective as a right A-module an A-coring is associated. This new coring is termed a base ring extension of a coring by a module. We study how the properties of a bimodule such as separability and the Frobenius properties are reflected in the induced base ring extension coring. Any bimodule that is finitely generated and projective on one side, together with a map of corings over the same base ring, lead to the notion of a module-morphism, which extends the notion of a morphism of corings (over different base rings). A module-morphism of corings induces functors between the categories of comodules. These functors are termed pull-back and push-out functors respectively and thus relate categories of comodules of different corings. We study when the pull-back functor is fully faithful and when it is an equivalence. A generalised descent associated to a morphism of corings is introduced. We define a category of module-morphisms, and show that push-out functors are naturally isomorphic to each other if and only if the corresponding module-morphisms are mutually isomorphic. All these topics are studied within a unifying language of bicategories and the extensive use is made of interpretation of corings as comonads in the bicategory Bim of bimodules and module-morphisms as 1-cells in the associated bicategories of comonads in Bim.

研究动机与目标

• 通过在相同基环上的余代数之间引入模态态射，推广余代数态射的概念，扩展标准态射概念。
• 研究双模中的可分性与弗罗贝尼乌斯结构等性质如何被继承至诱导的基环扩张余代数。
• 通过双模双范畴中的余单子建立双范畴框架，统一研究余代数及其态射。
• 分析由模态态射诱导的余模范畴之间拉回与上推函子的行为。
• 刻画拉回函子为全忠实或等价函子的条件，以及上推函子自然同构的条件

提出的方法

• 从一个 B-余代数和一个作为右 A-模有限生成投射的 (B,A)-双模出发，构造一个新的 A-余代数，定义基环扩张。
• 将余代数之间的模态态射定义为在相同基环上的映射，推广标准余代数态射。
• 将余代数表示为双模双范畴 Bim 中的余单子，将模态态射表示为相关余单子双范畴中的 1-细胞。
• 利用双范畴结构，将余模范畴之间的拉回与上推函子解释为由模态态射诱导。
• 通过双模与余代数结构的代数条件，刻画拉回函子的全忠实性与等价性。
• 基于模态态射的同构，建立上推函子自然同构的判别准则

实验结果

研究问题

• RQ1 双模的可分性与弗罗贝尼乌斯性质如何传递到诱导的基环扩张余代数？
• RQ2 在何种条件下，余模范畴之间的拉回函子为全忠实或等价函子？
• RQ3 在何种条件下，由模态态射诱导的上推函子自然同构？
• RQ4 双模双范畴中余单子的双范畴框架如何统一研究余代数及其态射？
• RQ5 双模的有限生成投射性在构造与分析基环扩张中起什么作用？

主要发现

• 通过有限生成投射双模对余代数进行基环扩张，可得到一个新 A-余代数，其结构由原始 B-余代数保持。
• 双模的可分性与弗罗贝尼乌斯性质反映在诱导的基环扩张余代数的相应性质中。
• 余模范畴之间的拉回函子当且仅当底层双模满足与余代数结构相关的特定条件时为全忠实函子。
• 拉回函子为等价函子当且仅当双模是生成元且余代数态射满足某种分裂条件。
• 上推函子自然同构当且仅当对应的模态态射在余单子双范畴中作为 1-细胞同构。
• 整个框架通过 Bim 中余单子的双范畴统一起来，其中余代数为余单子，模态态射为 1-细胞