[论文解读] The Black-Scholes Equation and Certain Quantum Hamiltonians

Juan M. Romero, O. González-Gaxiola+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2010

Quantum Mechanics and Applications被引用 3

一句话总结

本文通过使用经过修正的动量算符，构建了一个非厄米量子力学框架，由此产生两个厄米哈密顿量和两个非厄米哈密顿量。该研究建立了一个具有双重结构的广义超对称量子力学，并证明该框架中的非厄米哈密顿量恰好对应于量子金融中的关键哈密顿量，包括布莱克-斯科尔斯模型、广义布莱克-斯科尔斯模型以及障碍期权模型。

ABSTRACT

In this paper a quantum mechanics is built by means of a non-Hermitian momentum operator. We have shown that it is possible to construct two Hermitian and two non-Hermitian type of Hamiltonians using this momentum operator. We can construct a generalized supersymmetric quantum mechanics that has a dual based on these Hamiltonians. In addition, it is shown that the non-Hermitian Hamiltonians of this theory can be related to Hamiltonians that naturally arise in the so-called quantum finance.

研究动机与目标

• 基于标准动量的规范型变换，推导出一个非厄米动量算符，构建一个量子力学框架。
• 利用该修正动量算符，对四类哈密顿量（两个厄米和两个非厄米）进行分类与构造。
• 通过基于新哈密顿量构造具有双重结构的广义超对称量子力学，扩展超对称量子力学。
• 在该量子框架中的非厄米哈密顿量与量子金融中的基本哈密顿量之间建立直接对应关系，特别是布莱克-斯科尔斯模型。

提出的方法

• 定义非厄米动量算符 $ P_{(f)j} = e^f P_j e^{-f} $，其中 $ f $ 为任意函数，由此产生一个破坏厄米性的规范变换动量。
• 构造四类哈密顿量：$ H_1 $ 和 $ H_2 $ 为厄米组合 $ \alpha^2 \vec{P}_{(f)}^\dagger \cdot \vec{P}_{(f)} $ 与 $ \alpha^2 \vec{P}_{(f)} \cdot \vec{P}_{(f)}^\dagger $，$ H_3 $ 和 $ H_4 $ 为非厄米形式 $ \beta^2 \vec{P}_{(f)}^\dagger \cdot \vec{P}_{(f)}^\dagger $ 与 $ \beta^2 \vec{P}_{(f)} \cdot \vec{P}_{(f)} $。
• 通过定义超电荷 $ Q_1, Q_2 $ 和 $ Q_3, Q_4 $，构建广义超对称量子力学，使得 $ Q^2 = 0 $，从而形成具有双重结构的超哈密顿量 $ H = \{Q_1, Q_2\} $。
• 识别 $ H_{II} = \beta^2 \vec{P}_{(f)}^\dagger \cdot \vec{P}_{(f)}^{\dagger} + V_2(x) $ 的一维形式，并证明当参数满足 $ \beta^2 = \sigma^2/2 $，$ f(x) = \frac{1}{\sigma^2}(\sigma^2/2 - r)x $，且 $ V_2(x) = r $ 时，其与布莱克-斯科尔斯哈密顿量 $ H_{BS} $ 完全匹配。
• 通过调整 $ f(x) $ 和 $ V_2(x) $，将对应关系扩展至广义布莱克-斯科尔斯模型和障碍期权模型，分别匹配 $ H_{BSG} $ 和 $ H_{BSB} $。

实验结果

研究问题

• RQ1 非厄米动量算符是否能在保持物理一致性的同时，生成厄米与非厄米哈密顿量？
• RQ2 如何从该非厄米框架中构建广义超对称量子力学？其双重结构的性质是什么？
• RQ3 从修正动量算符导出的非厄米哈密顿量与量子金融中布莱克-斯科尔斯哈密顿量之间的精确数学对应关系是什么？
• RQ4 广义布莱克-斯科尔斯与障碍期权哈密顿量是否可作为该量子力学模型的特例被恢复？

主要发现

• 非厄米动量算符 $ P_{(f)j} = e^f P_j e^{-f} $ 生成两个厄米哈密顿量 $ H_1 $ 和 $ H_2 $，以及两个非厄米哈密顿量 $ H_3 $ 和 $ H_4 $，所有哈密顿量均源自同一基本算符结构。
• 通过超电荷 $ Q_1 $ 和 $ Q_2 $ 构建了广义超对称量子力学，满足 $ Q^2 = 0 $ 且 $ \{Q_1, Q_2\} = H $，并通过 $ Q_3 $ 和 $ Q_4 $ 实现双重表述，表明其代数结构比标准超对称性更丰富。
• 非厄米哈密顿量 $ H_{II} = \beta^2 \vec{P}_{(f)}^\dagger \cdot \vec{P}_{(f)}^{\dagger} + V_2(x) $ 在 $ \beta^2 = \sigma^2/2 $，$ f(x) = \frac{1}{\sigma^2}(\sigma^2/2 - r)x $，且 $ V_2(x) = r $ 时，精确重现布莱克-斯科尔斯哈密顿量 $ H_{BS} $。
• 通过允许 $ f(x) $ 依赖于时变漂移函数 $ V(x) $，即 $ f(x) = \int_0^x du \, \frac{1}{\sigma^2}(\sigma^2/2 - V(u)) $，广义布莱克-斯科尔斯哈密顿量 $ H_{BSG} $ 被成功恢复，表明该模型具有高度灵活性。
• 通过设定 $ V_2(x) = V(x) $，障碍期权哈密顿量 $ H_{BSB} $ 同样被匹配，证实该框架适用于路径依赖型金融衍生品。
• 该模型明确找到了哈密顿量的基态，并表明具有实谱的非厄米算符可产生物理上有意义的量子系统，尤其在金融应用中表现突出。