[论文解读] The blocks and weights of finite special linear and unitary groups

Zhicheng Feng|arXiv (Cornell University)|May 17, 2018

Finite Group Theory Research参考文献 35被引用 5

一句话总结

本文在非定义特征标 $\ell \geq 3$ 下对有限特殊线性群与酉群 $\sigma\delta\delta_n(\epsilon q)$ 的 $\varepsilon$-块进行分类，并在条件 $\ell \nmid \gcd(n, q - \epsilon)$ 下建立了 $\mathrm{SL}_n(\epsilon q)$ 与 $\mathrm{GL}_n(\epsilon q)$ 的 $\ell$-权之间的对应关系。主要结果为在相同条件下验证了这些群的 Alperin 权猜想与归纳块状 Alperin 权条件。

ABSTRACT

This paper has two main parts. Firstly, we give a classification of the $\ell$-blocks of finite special linear and unitary groups $SL_n(εq)$ in the non-defining characteristic $\ell\ge 3$. Secondly, we describe how the $\ell$-weights of $SL_n(εq)$ can be obtained from the $\ell$-weights of $GL_n(εq)$ when $\ell mid\mathrm{gcd}(n,q-ε)$, and verify the Alperin weight conjecture for $SL_n(εq)$ under the condition $\ell mid\mathrm{gcd}(n,q-ε)$. As a step to establish the Alperin weight conjecture for all finite groups, we prove the inductive blockwise Alperin weight condition for any unipotent $\ell$-block of $SL_n(εq)$ if $\ell mid\mathrm{gcd}(n,q-ε)$.

研究动机与目标

• 在非定义特征标 $\ell \geq 3$ 下对有限特殊线性群与酉群 $\mathrm{SL}_n(\epsilon q)$ 的 $\ell$-块进行分类。
• 在条件 $\ell \nmid \gcd(n, q - \epsilon)$ 下，描述 $\mathrm{SL}_n(\epsilon q)$ 的 $\ell$-权如何由 $\mathrm{GL}_n(\epsilon q)$ 的 $\ell$-权导出。
• 在相同条件下验证 $\mathrm{SL}_n(\epsilon q)$ 的 Alperin 权猜想。
• 在 $\ell \nmid \gcd(n, q - \epsilon)$ 条件下，证明 $\mathrm{SL}_n(\epsilon q)$ 的幂零 $\ell$-块满足归纳块状 Alperin 权（iBAW）条件。

提出的方法

• 利用 Fong、Srinivasan、Brou\'e、Cabanes、Enguehard、Kessar 与 Malle 关于一般线性群与酉群的 $\ell$-块分类结果。
• 应用 Kessar 与 Malle（2012）的引理，建立 $\mathrm{GL}_n(\epsilon q)$ 与 $\mathrm{SL}_n(\epsilon q)$ 之间 $\ell$-块参数化的关联。
• 应用有限李型群中 $\ell$-块与 $\ell$-权的理论，特别关注 $\ell$-根子群与零缺陷特征标的作用。
• 通过特征标扩张技术与有限单群自同构群的结构，应用归纳块状 Alperin 权条件。
• 利用 Frattini 作用与可解商群中 Hall $\ell'$-子群的性质，建立 Brauer 特征标的的扩张性质。
• 应用文献 [38] 与 [28] 中关于有限群中特征标扩张与块提升的结果，这些群具有可解的外自同构群。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非定义特征标 $\ell \geq 3$ 下，$\mathrm{SL}_n(\epsilon q)$ 的 $\ell$-块如何参数化？
• RQ2 当 $\ell \nmid \gcd(n, q - \epsilon)$ 时，$\mathrm{SL}_n(\epsilon q)$ 的 $\ell$-权与 $\mathrm{GL}_n(\epsilon q)$ 的 $\ell$-权之间有何关系？
• RQ3 在条件 $\ell \nmid \gcd(n, q - \epsilon)$ 下，Alperin 权猜想是否对 $\mathrm{SL}_n(\epsilon q)$ 成立？
• RQ4 在 $\ell \nmid \gcd(n, q - \epsilon)$ 条件下，$\mathrm{SL}_n(\epsilon q)$ 的幂零 $\ell$-块是否满足归纳块状 Alperin 权条件？

主要发现

• 在非定义特征标 $\ell \geq 3$ 下，$\mathrm{SL}_n(\epsilon q)$ 的 $\ell$-块已分类，扩展了此前对 $\mathrm{GL}_n(\epsilon q)$ 的结果。
• 在条件 $\ell \nmid \gcd(n, q - \epsilon)$ 下，$\mathrm{SL}_n(\epsilon q)$ 的 $\ell$-权通过限制与提升与 $\mathrm{GL}_n(\epsilon q)$ 的 $\ell$-权之间存在双射。
• 当 $\ell \nmid |Z(\mathrm{SL}_n(\epsilon q))|$ 时，即等价于 $\ell \nmid \gcd(n, q - \epsilon)$ 时，$\mathrm{SL}_n(\epsilon q)$ 的 Alperin 权猜想成立。
• 在 $\ell \nmid \gcd(n, q - \epsilon)$ 条件下，所有 $\mathrm{SL}_n(\epsilon q)$ 的幂零 $\ell$-块均满足归纳块状 Alperin 权条件。
• 证明依赖于特征标扩张与自同构群结构 $\mathrm{Aut}(X) = (G \rtimes D)/Z(G)$，其中 $A = \mathrm{Aut}(X)/Z(G)$ 模 $\overline{X}$ 可解。
• 当 $n = 2$ 时，iBAW 条件的验证可归约为验证定义 2.7 的条件 (iii)，其可通过与高秩情形相同的论证成立。