[论文解读] The Boolean Hierarchy over Level 1/2 of the Straubing-Therien Hierarchy

Heinz Schmitz, Klaus W. Wagner|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 1998

semigroups and automata theory参考文献 25被引用 8

一句话总结

本文確立了 Straubing-Therien 層次結構中 L(1/2)（即該層次的第 1/2 級）上布林層次各類別的成員資格標準，證明該層次結構為真層次，且其各類別皆可判定。本文引入以確定性有限自動機轉移圖表達的 L(1) 之「禁止模式」特徵，使 FO(<)-可定義語言的可判定性結果得以建立，並產生複雜度理論上的推論。

ABSTRACT

For some fixed alphabet A, a language L of A* is in the class L(1/2) of the Straubing-Therien hierarchy if and only if it can be expressed as a finite union of languages A*aA*bA*...A*cA*, where a,b,...,c are letters. The class L(1) is defined as the boolean closure of L(1/2). It is known that the classes L(1/2) and L(1) are decidable. We give a membership criterion for the single classes of the boolean hierarchy over L(1/2). From this criterion we can conclude that this boolean hierarchy is proper and that its classes are decidable.In finite model theory the latter implies the decidability of the classes of the boolean hierarchy over the class Sigma(1) of the FO(

研究动机与目标

• 確立 Straubing-Therien 層次結構中 L(1/2) 上布林層次各類別的特徵。
• 證明 L(1/2) 上的布林層次結構為真層次。
• 建立此層次結構中各類別的可判定性。
• 以確定性有限自動機提供 L(1) 的禁止模式特徵。
• 從結構性結果推導複雜度理論上的後果。

提出的方法

• 使用邏輯與自動機理論技術，為 L(1/2) 上布林層次的每一類別發展成員資格標準。
• 分析接受 L(1/2) 和 L(1) 中語言的確定性有限自動機（DFA）之結構。
• 在 DFA 的轉移圖上引入一個禁止模式條件，以特徵化 L(1) 中的成員資格。
• 利用 L(1/2) 的布林閉包定義 L(1)，並透過結構性分離證明 L(1/2) 上的層次結構為真層次。
• 應用禁止模式特徵，以證明 L(1/2) 上布林層次中各類別的可判定性。
• 利用有限模型論，將結果與 FO(<)-可定義語言的可判定性聯結。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 Straubing-Therien 層次結構中，L(1/2) 上布林層次各類別的精確成員資格條件為何？
• RQ2 L(1/2) 上的布林層次結構是否為真層次，即每一級是否嚴格包含前一級？
• RQ3 L(1) 是否可透過確定性有限自動機轉移圖上的禁止模式來特徵化？
• RQ4 新特徵與層次結構的複雜度理論後果為何？
• RQ5 禁止模式特徵是否意味著 L(1/2) 上布林層次中各類別的可判定性？

主要发现

• 證明 L(1/2) 上的布林層次結構為真層次，即每一級皆嚴格包含前一級。
• 為 L(1/2) 上布林層次的每一類別確立成員資格標準，從而可建立有效的決策程序。
• 提供 L(1) 的禁止模式特徵：當且僅當其最小 DFA 在轉移圖中避免某特定模式時，語言才屬於 L(1)。
• 透過成員資格標準與禁止模式條件，確立 L(1/2) 上布林層次中各類別的可判定性。
• 結果顯示，透過有限模型論，L(1) 上布林層次中各類別的可判定性可推導至 Sigma(1) 類別（即 FO(<)-可定義語言類別）。
• 推導出複雜度理論上的後果，包括對層次內類別結構與可判定性的更深入理解。