[论文解读] The Borel complexity of von Neumann equivalence

Inessa Epstein, Asger Törnquist|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2011

Advanced Topology and Set Theory参考文献 24被引用 4

一句话总结

该论文证明，对于包含非阿贝尔自由群 Fn（2 ≤ n ≤ ∞）作为正规子群的可数离散群 Γ，其在弱混合、几乎处处自由的概率测度保持（p.m.p.）作用上的共轭关系、轨道等价关系以及冯诺依曼等价关系均为解析但非 Borel。这表明在 Effros Borel 结构下，II₁、II∞ 和 IIIλ 型的可分作用因子的同构关系也是解析但非 Borel，从而解决了遍历论与算子代数中长期存在的复杂性问题。

ABSTRACT

We prove that for a countable discrete group $Γ$ containing a copy of the free group $\F_n$, for some $2\leq n\leq\infty$, as a normal subgroup, the equivalence relations of conjugacy, orbit equivalence and von Neumann equivalence of the ergodic a.e. free actions of $Γ$ are analytic non-Borel equivalence relations in the Polish space of probability measure preserving $Γ$ actions. As a consequence we obtain that the isomorphism relation in the spaces of separably acting factors of type $\II_1$, $\II_\infty$ and $\III_λ$, $0\leqλ\leq 1$, are analytic and not Borel when these spaces are given the Effros Borel structure.

研究动机与目标

• 确定可数离散群 Γ 的弱混合、几乎处处自由的概率测度保持（p.m.p.）作用的共轭、轨道等价及冯诺依曼等价关系的 Borel 复杂性。
• 解决这些等价关系是否为 Borel 或解析的基本问题，若为解析，则判断其是否为完全解析。
• 将关于 II₁、II∞ 和 IIIλ 型因子空间中同构关系复杂性的结果扩展至 Effros Borel 结构。
• 对遍历论与冯诺依曼代数理论中的分类问题的逻辑与描述集合论复杂性进行系统分析。

提出的方法

• 利用 Γ 中存在非阿贝尔自由群 Fn（2 ≤ n ≤ ∞）作为正规子群的事实，构造从树上的完全解析等价关系（TFA）到 p.m.p. 作用上等价关系的 Borel 归约。
• 采用 Borel 映射 h: TFA → A*_{wm}(Γ,X,μ)，将每棵树映射为 Γ 的一个弱混合、几乎处处自由的 p.m.p. 作用。
• 应用文献 [17] 的结果，即关联的群-测度空间冯诺依曼代数为 HT-因子，确保这些代数的同构恰好对应于原始等价关系。
• 使用 Borel 可数到一的归约技术，将 TFA 同构关系的完备性传递至 II∞ 和 IIIλ 型因子的同构关系。
• 利用在可分希尔伯特空间上作用的冯诺依曼代数空间上的 Effros Borel 结构，确保同构关系为 Borel 可测。
• 应用如下事实：若两个群-测度空间代数同构，则在给定条件下，其关联作用必为冯诺依曼等价，反之亦然。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于可数离散群 Γ 的弱混合、几乎处处自由 p.m.p. 作用，其共轭关系是解析还是 Borel？
• RQ2 当 Γ 包含一个非阿贝尔自由群作为正规子群时，此类作用上的轨道等价与冯诺依曼等价关系是否为解析但非 Borel？
• RQ3 在 Effros Borel 结构下，可分作用的 II₁、II∞ 和 IIIλ 型因子的同构关系的 Borel 复杂性为何？
• RQ4 是否可在不附加集合论假设的前提下，在 ZFC 中确立共轭关系的完备性？
• RQ5 这些等价关系的复杂性是否对所有非阿贝尔可数离散群均成立？

主要发现

• 对于任意包含非阿贝尔自由群 Fn（2 ≤ n ≤ ∞）作为正规子群的可数离散群 Γ，其在弱混合、几乎处处自由 p.m.p. 作用上的共轭关系为完全解析，因此非 Borel。
• 此类作用上的轨道等价与冯诺依曼等价关系亦为解析但非 Borel，通过从树上完全解析关系到这些等价关系的 Borel 归约得以证明。
• 可分作用的 II₁ 型因子的同构关系为解析但非 Borel，该结果扩展了先前对更广类因子的研究。
• II∞ 型与 IIIλ 型因子（0 ≤ λ ≤ 1）的同构关系亦为解析但非 Borel，通过构造从 TFA 同构关系到这些因子同构关系的 Borel 可数到一归约得以证明。
• 在假设 0♯ 存在或存在一个可测基数的前提下，解析非 Borel 关系成为完全解析；尽管本文推测该结论在 ZFC 中对所有非阿贝尔群均成立。
• 该结果解决了广泛类群与因子在遍历论与算子代数中分类问题的 Borel 复杂性，表明在这些设定下不存在 Borel 分类。