[论文解读] The boundary analog of the Carathéodory-Schur interpolation problem

V. Bolotnikov|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2010

Holomorphic and Operator Theory参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文建立了经典 Carathéodory-Schur 插值问题在 Schur 类函数上的边界类比，为在单位圆上某一点具有指定非切向边界展开的 Schur 函数的存在性提供了必要且充分条件。关键结果通过由边界数据和两个辅助参数构造的正半定矩阵来刻画可解性，将经典的内部插值推广至边界情形，并给出了显式的唯一性与有限性条件。

ABSTRACT

Characterization of Schur-class functions (analytic and bounded by one in modulus on the open unit disk) in terms of their Taylor coefficients at the origin is due to I. Schur. We present a boundary analog of this result: necessary and sufficient conditions are given for the existence of a Schur-class function with the prescribed nontangential boundary expansion $f(z)=s_0+s_1(z-t_0)+\ldots+s_N(z-t_0)^N+o(|z-t_0|^N)$ at a given point $t_0$ on the unit circle.

研究动机与目标

• 将经典的 Carathéodory-Schur 插值问题从单位圆盘内的内点扩展至单位圆上的边界点。
• 刻画在单位圆上某一点 $ t_0 \in \mathbb{T} $ 处具有给定阶数 $ N $ 的非切向边界展开的 Schur 类函数的存在性。
• 确定此类函数存在的条件，以及其唯一性或属于无限族的条件。
• 在唯一性情况下将唯一解识别为有限 Blaschke 乘积，并在不确定情况下描述解集的结构。

提出的方法

• 将问题表述为寻找一个 Schur 类函数 $ f \in \mathcal{S} $，使其在点 $ t_0 $ 处具有指定的非切向边界极限 $ f_j(t_0) = s_j $（$ j = 0, \dots, N $），等价于当 $ z \to t_0 $ 以非切向方式趋近时，有渐近展开 $ f(z) = \sum_{j=0}^N s_j (z - t_0)^j + o(|z - t_0|^N) $。
• 关键构造涉及一个由系数 $ s_0, \dots, s_N $ 构造的正半定矩阵 $ \mathbb{P}^\mathbf{s}_n $，以及一个涉及高阶导数和与边界行为相关的参数 $ R_0 $ 的辅助矩阵。
• 解的存在性由一个结构化矩阵 $ \mathbb{P}^\mathbf{s}_n $ 的正定性决定，还需满足涉及复数 $ R_0 $ 和差值 $ p^{\mathbf{s}}_{n+1,n} - \overline{p}^{\mathbf{s}}_{n,n+1} $ 的附加条件。
• 分析使用了 Carathéodory-Julia 理论以及 Schur 函数的性质，特别是 $ \frac{1 - |f(z)|^2}{1 - |z|^2} $ 在边界附近的性质。
• 证明依赖于对插值数据的递归扩展构造，以及一个满足 $ \mathcal{E}(t_0) = R_0 $ 的函数 $ \mathcal{E} \in \mathcal{S} $ 的使用，其可解性取决于 $ |R_0| < 1 $ 是否成立。
• 解的唯一性与有限性与矩阵 $ \mathbb{P}^\mathbf{s}_n $ 的秩相关，当 $ \mathbb{P}^\mathbf{s}_n $ 奇异时，唯一解为有限 Blaschke 乘积。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，存在一个 Schur 类函数，使其在边界点 $ t_0 \in \mathbb{T} $ 处具有指定阶数 $ N $ 的非切向边界展开？
• RQ2 在什么情况下该函数唯一，又在什么情况下存在无穷多解？
• RQ3 解集的结构（有限或无限）如何与由边界数据构造的关联矩阵的正定性和奇异性相关？
• RQ4 辅助参数 $ R_0 $ 和 $ c_n(t_0) $ 在决定可解性方面起什么作用？
• RQ5 边界插值问题与经典的内部 Carathéodory-Schur 问题有何关联？其解准则的关键差异是什么？

主要发现

• 当且仅当由系数 $ s_0, \dots, s_N $ 构造的某个矩阵 $ \mathbb{P}^\mathbf{s}_n $ 为正半定时，且满足涉及 $ R_0 $ 和差值 $ p^{\mathbf{s}}_{n+1,n} - \overline{p}^{\mathbf{s}}_{n,n+1} $ 的辅助条件时，存在一个在 $ t_0 \in \mathbb{T} $ 处具有指定边界展开的 Schur 类函数。
• 若 $ |s_0| < 1 $，则存在无穷多解，与经典情形一致。
• 若 $ |s_0| = 1 $ 且 $ \mathbb{P}^\mathbf{s}_n $ 奇异，则存在唯一解，且该解为一个次数等于 $ \mathbb{P}^\mathbf{s}_n $ 秩的有限 Blaschke 乘积。
• 当 $ |s_0| = 1 $，$ \mathbb{P}^\mathbf{s}_n > 0 $，且 $ N = 2n - 1 $ 时，存在无穷多解。
• 若 $ |s_0| = 1 $，$ \mathbb{P}^\mathbf{s}_n > 0 $，且 $ N > 2n $，则仅当 $ t_0(p^{\mathbf{s}}_{n+1,n} - \overline{p}^{\mathbf{s}}_{n,n+1}) > 0 $ 时存在解，此时存在无穷多解；否则无解。
• 当 $ |s_0| = 1 $，$ \mathbb{P}^\mathbf{s}_n > 0 $，且 $ N = 2n $ 时，解存在的充要条件是 $ p^{\mathbf{s}}_{n+1,n} = \overline{p}^{\mathbf{s}}_{n,n+1} $，此时存在无穷多解。