[论文解读] The bounded spherical functions for the free two step nilpotent Lie group

Véronique Fischer|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2010

Spectral Theory in Mathematical Physics被引用 4

一句话总结

本文通过表示理论与调和分析，完整刻画了自由两步幂零李群 $N_p$ 在正交群 $O(p)$ 或 $SO(p)$ 作用下的有界球函数。推导出这些函数的显式表达式，计算其在 Kohn 子拉普拉斯算子下的特征值，并确定径向 Plancherel 测度，为 $N_p$ 上 $K$-不变的 $L^2$ 函数提供了完整的谱分解。结果推广了已知的海森堡群情形，并扩展至更高秩的自由幂零群。

ABSTRACT

In this paper, we give the expressions for the bounded spherical functions, or equivalently the spherical functions of positive type, for the free two-step nilpotent Lie groups endowed with the actions of orthogonal groups or their special subgroups. Next we deduce some results about the (Kohn) sub-Laplacian, and we compute the radial Plancherel measure.

研究动机与目标

• 为自由两步幂零李群 $N_p$ 在 $O(p)$ 或 $SO(p)$ 作用下提供所有有界球函数的完整且严格的推导，推广海森堡群的已知结果。
• 计算 Kohn 子拉普拉斯算子作用于这些球函数时的特征值。
• 确定在 Gelfand 对 $(N_p, O(p))$ 框架下，$K$-不变函数在 $N_p$ 上的径向 Plancherel 测度，实现谱分解。
• 通过诱导表示建立球函数、拉盖尔函数与埃尔米特函数、以及 $N_p$ 表示理论之间的联系。

提出的方法

• 利用 Gelfand 对结构 $(N_p, O(p))$，通过 $O(p)$ 中稳定子子群的不可约表示构造有界球函数，采用诱导表示 $\Pi_{r,\Lambda,l}$。
• 使用 $\mathcal{N}_p = \mathcal{V} \oplus \mathcal{Z}$ 的典范实现，其中 $\mathcal{V} \cong \mathbb{R}^p$，$\mathcal{Z} \cong \mathfrak{so}(p)$，并通过 $[X,Y](V) = \langle X,V\rangle Y - \langle Y,V\rangle X$ 定义李括积。
• 将球函数 $\phi^{r,\Lambda,l}$ 表示为表示 $\Pi_{r,\Lambda,l}$ 的矩阵系数，使用拉盖尔函数与埃尔米特函数的正交基。
• 通过微分表示 $d\Pi(L)$ 计算 Kohn 子拉普拉斯算子 $L = -\sum_{i=1}^p X_i^2$ 在这些函数上的作用，得到特征值 $\sum_{j=1}^{p_1} \lambda_j(2l_j + m_j) + r^2$。
• 将径向 Plancherel 测度 $m^\natural$ 推导为 $\mathcal{L}$ 上的测度 $\eta'$、$\mathbb{N}^{p'}$ 上的计数测度与 $\mathbb{R}^+$ 上的测度 $\tau$ 的张量积，归一化常数为 $c(p)$。
• 利用反对称矩阵的极分解及测度 $d\eta$ 在 $O(p)$ 下的不变性，验证 Plancherel 公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $O(p)$ 或 $SO(p)$ 作用下，自由两步幂零李群 $N_p$ 上的有界球函数的完整表达式是什么？
• RQ2 球函数如何与 $N_p$ 上 Kohn 子拉普拉斯算子的特征函数相关联？
• RQ3 在 Gelfand 对 $(N_p, O(p))$ 下，$K$-不变函数在 $N_p$ 上的径向 Plancherel 测度是什么？
• RQ4 如何通过球函数及其关联测度实现 $L^2(N_p)$ 的谱分解？

主要发现

• 在 $N_p$ 上的有界球函数显式给出为 $\phi^{r,\Lambda,l}$，其构造为诱导表示 $\Pi_{r,\Lambda,l}$ 的矩阵系数，其中 $r \in \mathbb{R}^+$，$\Lambda \in \mathcal{L}$，$l \in \mathbb{N}^{p'}$。
• Kohn 子拉普拉斯算子 $L$ 作用于 $\phi^{r,\Lambda,l}$ 时的特征值为 $\sum_{j=1}^{p_1} \lambda_j(2l_j + m_j) + r^2$，其中 $\lambda_j$ 为反对称矩阵 $A$ 的正特征值，$m_j$ 为 $\lambda_j$ 的重数。
• 径向 Plancherel 测度 $m^\natural$ 为 $\mathcal{L}$ 上的测度 $\eta'$、$\mathbb{N}^{p'}$ 上的计数测度与 $\mathbb{R}^+$ 上的测度 $\tau$ 的乘积，归一化常数为 $c(p)$，并满足对 $K$-不变的 $\psi \in L^2(N)$ 有 $\|\psi\|^2_{L^2(N)} = \int |\langle \psi, \phi^{r,\Lambda,l} \rangle|^2 dm^\natural(r,\Lambda,l)$。
• 非径向 Plancherel 测度 $m$ 为 $O(p)$ 上的哈尔测度 $dk$、$\mathcal{L}$ 上的 $\eta'$ 与 $\mathbb{R}^+$ 上的 $\tau$ 的张量积，归一化常数为 $c(p)$，并满足 $L^2(N)$ 的完整 Plancherel 公式。
• 测度 $d\eta(\Lambda)$ 定义为：当 $p=2p'$ 时为 $c \prod_{j<k} (\lambda_j^2 - \lambda_k^2)^2 d\Lambda$；当 $p=2p'+1$ 时为 $c \prod_i \lambda_i^2 \prod_{j<k} (\lambda_j^2 - \lambda_k^2)^2 d\Lambda$，以确保 $\mathcal{A}_p$ 的极分解成立。
• 通过诱导表示的构造及拉盖尔与埃尔米特函数的使用，为 $N_p$ 上 $K$-不变函数提供了完整且显式的谱理论，推广了海森堡群的情形。