[论文解读] The Brauer-Picard group of the representation category of finite supergroup algebras

Martín Mombelli|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用 7

一句话总结

本文计算了有限超群代数表示范畴的Brauer-Picard群，这些是形如 $\mathcal{A}(V,u,G) = \wedge(V) \# \Bbbk G$ 的霍普夫代数，其中 $u$ 是作用在 $G$-模 $V$ 上为 $-1$ 的二阶中心元。通过在 $\mathcal{A}(V,u,G) \otimes \mathcal{A}(V,u,G)^{\rm{cop}}$ 中对余理想子代数的形变分类精确不可约双模范畴，作者建立了Brauer-Picard群与拉格朗日数据等价类群之间的群同构，从而给出了可逆双模范畴的完整结构描述。

ABSTRACT

We develop further the techniques presented in [M. Mombelli. On the tensor product of bimodule categories over Hopf algebras. Preprint arXiv:1111.1610 ] to study bimodule categories over the representation categories of arbitrary finite-dimensional Hopf algebras. We compute the Brauer-Picard group of equivalence classes of exact invertible bimodule categories over the representation categories of a certain large family of pointed non-semisimple Hopf algebras, the so called supergroup algebras. To obtain this result we first give a classification of equivalence classes of exact indecomposable bimodule categories over such Hopf algebras.

研究动机与目标

• 计算有限超群代数表示范畴的Brauer-Picard群，这是一类非半单的点状霍普夫代数。
• 通过 $\mathcal{A}(V,u,G) \otimes \mathcal{A}(V,u,G)^{\rm{cop}}$ 中余理想子代数的形变，对 $\operatorname{Rep}(\mathcal{A}(V,u,G))$ 上的等价类精确不可约双模范畴进行分类。
• 在Brauer-Picard群与拉格朗日数据 $(W^1,W^2,W^3,\beta,F,\psi)$ 等价类群之间建立群同构。
• 利用辛类双线性形式与群作用，提供可逆双模范畴的显式参数化。

提出的方法

• 通过 $\mathcal{A}(V,u,G) \otimes \mathcal{A}(V,u,G)^{\rm{cop}}$-余模代数的等价类，对 $\operatorname{Rep}(\mathcal{A}(V,u,G))$ 上的精确不可约双模范畴进行分类。
• 利用 $\mathcal{A}(V,u,G)$ 是余根基分次的性质，将分类问题约化为在张量积中对余理想子代数的形变。
• 构造一个六元组 $(W^1,W^2,W^3,\beta,F,\psi)$ 来参数化此类双模范畴，其中 $F \subseteq G \times G$ 是一个子群，$\psi$ 是一个2-上循环，$\beta$ 是具有特定对称性与反对称性性质的 $F$-不变双线性型。
• 在这些六元组上定义等价关系，识别出产生等价双模范畴的项。
• 在Brauer-Picard群与 $V \oplus V^*$ 的自同构等价类群 $\overline{\mathcal{O}}(V,u,G)$ 之间建立群同构。
• 证明映射 $\sigma: \overline{\mathcal{O}}(V,u,G) \to \overline{\mathrm{Lag}}(V,u,G)$，定义为 $\sigma(\overline{(T,\alpha)}) = \overline{(\tau(W_T,\beta_T), \alpha)}$，是良定义的群同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 有限超群代数表示范畴的Brauer-Picard群结构是什么？
• RQ2 如何对 $\operatorname{Rep}(\mathcal{A}(V,u,G))$ 上的精确不可约双模范畴进行分类？
• RQ3 可逆双模范畴在群作用、子空间与双线性型方面的精确参数化是什么？
• RQ4 Brauer-Picard群与拉格朗日数据群之间是否存在群同构？
• RQ5 在具体例子（如Sweedler霍普夫代数）中，Brauer-Picard群的行为如何？

主要发现

• Brauer-Picard群 $\mathrm{BrPic}(\operatorname{Rep}(\mathcal{A}(V,u,G)))$ 同构于 $V \oplus V^*$ 的自同构等价类群 $\overline{\mathcal{O}}(V,u,G)$，该群保持某种特定结构。
• 每个 $\operatorname{Rep}(\mathcal{A}(V,u,G))$ 上的精确不可约双模范畴均由满足特定不变性与对称性条件的六元组 $(W^1,W^2,W^3,\beta,F,\psi)$ 构造而成。
• 同构 $\sigma: \overline{\mathcal{O}}(V,u,G) \to \overline{\mathrm{Lag}}(V,u,G)$ 是良定义且双射的，证明了Brauer-Picard群对这些六元组模等价关系的分类。
• 对于Sweedler霍普夫代数（$\dim V = 1$，$G = \mathbb{Z}_2$），Brauer-Picard群同构于 $\mathcal{O} \times \mathbb{Z}_2$，其中 $\mathcal{O} = \{A \in SL_2(\mathbb{C}) : A_{12} = 0\}$，且存在一个一维参数族的四阶可逆双模范畴。
• 当 $(u,u) \notin F$ 时，双线性型 $\beta$ 在 $W^1 \times W^2$ 上的限制为零，从而在这些情形下简化了分类。
• 该构造确保两个可逆双模范畴的张量积仍为可逆且不可约，与Brauer-Picard群的群结构一致。