[论文解读] The Brauer-Picard groups of the $ADE$ fusion categories

Cain Edie-Michell|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2017

Advanced Algebra and Geometry被引用 1

一句话总结

本文通过分析其戴克林中心的辫自同构，计算了 $ADE$ 融合范畴及其伽罗瓦共轭的偶部的布劳尔-皮卡德群。利用平面代数表示，它确定了群结构——显著地，$D_{10}$ 偶部的布劳尔-皮卡德群为 $S_3 \times S_3$——并发展了组合方法以确定可逆双模的代数对象。

ABSTRACT

We compute the group of Morita auto-equivalences of the even parts of the $ADE$ subfactors, and Galois conjugates. To achieve this we study the braided auto-equivalences of the Drinfeld centres of these categories. We give planar algebra presentations for each of these Drinfeld centres, which we leverage to obtain information about the braided auto-equivalences of the corresponding categories. We also perform the same calculations for the fusion categories constructed from the full $ADE$ subfactors. Of particular interest, the even part of the $D_{10}$ subfactor is shown to have Brauer-Picard group $S_3 imes S_3$. We develop combinatorial arguments to compute the underlying algebra objects of these invertible bimodules.

研究动机与目标

• 确定 $ADE$ 子因子的偶部及其伽罗瓦共轭的莫里塔自同构群。
• 分析 $ADE$ 融合范畴的戴克林中心的辫自同构。
• 为这些范畴的戴克林中心提供平面代数表示。
• 使用组合技术计算可逆双模的底层代数对象。
• 建立完整 $ADE$ 子因子及其偶部的布劳尔-皮卡德群的完整结构。

提出的方法

• 为 $ADE$ 融合范畴的戴克林中心构建平面代数表示。
• 利用这些表示研究中心的辫自同构。
• 应用张量范畴理论的技术分析偶部的莫里塔自同构。
• 利用伽罗瓦共轭将结果推广到伽罗瓦共轭范畴。
• 发展组合论证以识别与可逆双模相关的代数对象。
• 利用完整 $ADE$ 子因子的融合范畴结构计算布劳尔-皮卡德群。

实验结果

研究问题

• RQ1 $D_{10}$ 子因子的偶部的布劳尔-皮卡德群的结构是什么？
• RQ2 戴克林中心的辫自同构如何与偶部的莫里塔自同构相关联？
• RQ3 哪些平面代数表示描述了 $ADE$ 融合范畴的戴克林中心？
• RQ4 如何使用组合方法识别可逆双模的代数对象？
• RQ5 完整 $ADE$ 子因子及其伽罗瓦共轭的布劳尔-皮卡德群是什么？

主要发现

• $D_{10}$ 子因子的偶部的布劳尔-皮卡德群同构于 $S_3 \times S_3$。
• 成功地为 $ADE$ 融合范畴的戴克林中心构建了平面代数表示。
• 利用戴克林中心的辫自同构确定了偶部的莫里塔自同构。
• 发展了组合技术以识别这些范畴中可逆双模的代数对象。
• 该方法得出了所有 $ADE$ 融合范畴及其伽罗瓦共轭的布劳尔-皮卡德群的显式计算。
• 结果表明平面代数表示与莫里塔自同构结构之间存在系统性关联。