[论文解读] The Brezis-Nirenberg problem for the fractional $p$-Laplacian

Sunra Mosconi, Kanishka Perera+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 42被引用 6

一句话总结

本论文在有界区域中建立了分数阶 $p$-拉普拉斯 Brezis-Nirenberg 问题非平凡解的存在性，克服了两大挑战：当 $p \neq 2$ 时，分数阶 Sobolev 不等式缺乏显式极小化器，以及缺乏经典链接分解。论文提出了一种基于上同调指标的新型变分方法，并结合极小化器的渐近估计，证明了在 $N > sp^2$ 且 $\lambda$ 处于不同谱区域时，各种临界指数条件下解的存在性。

ABSTRACT

We obtain nontrivial solutions to the Brezis-Nirenberg problem for the fractional $p$-Laplacian operator, extending some results in the literature for the fractional Laplacian. The quasilinear case presents two serious new difficulties. First an explicit formula for a minimizer in the fractional Sobolev inequality is not available when $p e 2$. We get around this difficulty by working with certain asymptotic estimates for minimizers recently obtained by Brasco, Mosconi and Squassina. The second difficulty is the lack of a direct sum decomposition suitable for applying the classical linking theorem. We use an abstract linking theorem based on the cohomological index proved by Perera and Yang to overcome this difficulty.

研究动机与目标

• 将经典的 Brezis-Nirenberg 结果从分数阶拉普拉斯推广到非线性分数阶 $p$-拉普拉斯情形（$p \neq 2$）。
• 解决当 $p \neq 2$ 时分数阶 Sobolev 不等式极小化器缺乏显式表达式的问题，这是变分方法中的关键障碍。
• 克服在拟线性情形下缺乏经典链接定理所需的直接直和分解的问题。
• 在 $N$、$s$、$p$ 和 $\lambda$ 的各种几何与谱条件下，建立临界分数阶 $p$-拉普拉斯问题非平凡弱解的存在性。

提出的方法

• 利用近期在 [4] 中导出的分数阶 Sobolev 不等式极小化器的渐近估计，替代对显式极小化器公式的需求。
• 应用基于上同调指标的抽象链接定理（来自 [48]），以绕过拟线性情形下缺乏直接直和分解的问题。
• 在空间 $W^{s,p}_0(\Omega)$ 中采用变分框架，以 Gagliardo 半范数作为范数，并通过积分恒等式定义弱解。
• 实施一种截断与缩放论证，涉及截断函数 $\eta_\delta$ 和 $\varphi_\delta$，以控制能量估计中的局部与全局贡献。
• 依赖于关联线性化问题解的精确正则性估计与衰减界，尤其在边界附近。
• 通过参数 $\delta$ 的精细能量比较论证，控制截断函数的 $L^p$-范数，并在链接构造中建立一致有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $p \neq 2$ 时，尽管分数阶 Sobolev 不等式缺乏显式极小化器公式，是否仍可建立分数阶 $p$-拉普拉斯 Brezis-Nirenberg 问题的非平凡解？
• RQ2 在缺乏直接直和分解的拟线性情形下，如何对经典链接定理进行适应性调整？
• RQ3 在哪些 $N$、$s$、$p$ 与 $\lambda$ 条件下，能确保临界分数阶 $p$-拉普拉斯方程非平凡弱解的存在性？
• RQ4 分数阶 Sobolev 不等式极小化器的渐近估计如何促进变分框架中链接几何的构造？
• RQ5 在何种谱与几何条件下，基于上同调指标的链接定理能为关联能量泛函产生非平凡临界点？

主要发现

• 当 $N \geq sp^2$ 且 $0 < \lambda < \lambda_1$（第一特征值）时，分数阶 $p$-拉普拉斯 Brezis-Nirenberg 问题存在非平凡弱解。
• 当 $N > sp^2$ 且 $\lambda > \lambda_1$ 不是特征值 $\lambda_k$ 时，解存在，扩展了半线性情形的结果。
• 当 $N^2/(N+s) > sp^2$ 时，若 $\lambda = \lambda_k$ 为特征值，且 $\partial\Omega$ 具备适当正则性，则解存在。
• 当 $\partial\Omega \in C^{1,1}$ 且 $(N^3 + s^3 p^3)/N(N+s) > sp^2$ 时，解在特征值 $\lambda = \lambda_k$ 处存在，确认了拟线性情形下的临界阈值。
• 能量泛函通过上同调指标满足链接几何，即使缺乏直接直和分解，仍可应用抽象链接定理。
• 建立了截断能量泛函 $\|v_\delta\|^p \leq 1 + C\delta^N$ 的一致有界性，这对控制 $\delta \to 0$ 时的链接构造至关重要。