[论文解读] The Brouwer fixed point theorem and the Borsuk--Ulam theorem

Anthony Carbery|arXiv (Cornell University)|May 21, 2012

Functional Equations Stability Results被引用 3

一句话总结

本文通过斯托克斯定理和度理论，提供了一种微分拓扑证明，用于证明博苏克-乌兰定理，其方法与已知的布劳威尔不动点定理的证明类似。该证明表明，不存在从n-球面到(n−1)-球面的光滑等变映射，其依据是：一方面，由于秩亏性，某类微分形式的积分应为零；另一方面，由于对径对称性，该积分又非零，从而导致矛盾，除非该映射不存在。

ABSTRACT

These informal notes, not intended for publication, provide an approach to the Borsuk--Ulam theorem via Stokes' theorem, in a similar spirit to Lima's proof of the Brouwer fixed point theorem. They are intended to be accessible to anyone with a knowledge of basic point-set topology and several variable calculus. Some of the argument relies upon previous ideas of Shchepin.

研究动机与目标

• 提供一种与已知布劳威尔不动点定理证明类似的微分拓扑方法，用于证明博苏克-乌兰定理。
• 证明不存在从n-球面到(n−1)-球面的光滑等变映射，该结论可推出博苏克-乌兰定理。
• 利用斯托克斯定理和某类微分形式积分的非零性，通过反证法推导出矛盾，前提是假设存在此类映射。
• 通过Sard定理和等变性，将一般情形约化至n=3的情形，实现维度约化。
• 在三维情形通过反证法完成证明，采用柱面模型并分析边界分量上的形式积分。

提出的方法

• 假设存在一个光滑等变映射f: S^n → S^{n-1}，这意味着对所有x都有f(x) ≠ f(-x)。
• 定义一个奇映射g(x) = (f(x) - f(-x))/|f(x) - f(-x)|，其映射从S^n到S^{n-1}，且满足g(-x) = -g(x)。
• 利用斯托克斯定理，将n-球体内雅可比行列式det Dg的积分与边界积分∫_{S^{n-1}} g₁ dg₂ ∧ … ∧ dgₙ联系起来。
• 通过反径对称性和在赤道上映射的卷绕数，证明该边界积分为非零。
• 使用维度约化：若此类映射在n ≥ 4时存在，则从S^{n-1}到S^{n-2}也存在一个光滑等变映射。
• 在三维情形通过反证法完成证明，采用柱面模型C = D² × [-1,1]，证明涉及f₃和df₁ ∧ df₂的边界积分不可能为零，从而与Df的秩亏性矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 博苏克-乌兰定理能否通过斯托克斯定理和微分形式，以类似于布劳威尔不动点定理证明的方式加以证明？
• RQ2 在n-球体边界上，是否存在一个非零的微分形式积分，能反映等变映射的对径对称性？
• RQ3 是否存在光滑等变映射S^n → S^{n-1}，导致通过微分形式积分产生矛盾？
• RQ4 能否通过光滑逼近和维度约化，将博苏克-乌兰定理从高维约化为n=3的情形？
• RQ5 在二维和三维情形中，卷绕数或净弧长在证明等变映射不存在性方面起什么作用？

主要发现

• 对于任意光滑等变映射g: S^{n-1} → S^{n-1}，积分∫_{S^{n-1}} g₁ dg₂ ∧ … ∧ dgₙ非零，这是由于对径对称性和奇数卷绕数。
• 当n=2时，积分∫_{S¹} g₁ dg₂等于π的奇数倍，非零，与雅可比行列式为零矛盾。
• 假设存在光滑等变映射f: S^n → S^{n-1}，将导致矛盾：一方面，积分∫_{D^n} det Df因秩亏性而为零；另一方面，根据斯托克斯定理，该积分等于一个非零的边界积分。
• 通过维度约化可知，若在n ≥ 4时存在从S^n到S^{n-1}的光滑等变映射，则也必须存在从S^{n-1}到S^{n-2}的此类映射，从而实现归纳约化。
• 在三维情形，若在柱面C = D² × [-1,1]上存在光滑等变映射f: C → S²，则导致矛盾，因为边界积分∫_{D₊} f₃ df₁ ∧ df₂因边界上的等变性而为非零。
• 最终矛盾源于积分∫_{D₊} df₁ ∧ df₂为非零（为π的奇数倍），而若Df的秩不足，则该积分必须为零，从而证明不存在此类映射。