[论文解读] The Brunn-Minkowski inequality and a Minkowski problem for $\mathcal{A}$-harmonic Green's function

Murat Akman, John L. Lewis+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2018

Point processes and geometric inequalities参考文献 24被引用 5

一句话总结

本文建立了关于凸紧集 $ E \subset \mathbb{R}^n $ 外部的 $ \chi $-次调和 Green 函数的 $ \chi $-次调和容量 $ Ç_{\mathcal{A}}(E) $ 的 Brunn-Minkowski 型不等式，证明了在 Minkowski 加法下，当 $ p > n $ 时 $ \mathcal{C}_{\mathcal{A}}(E)^{1/(p-n)} $ 的凹性，当 $ p = n $ 时 $ \mathcal{C}_{\mathcal{A}}(E) $ 的凹性。此外，本文还证明了一个关于由 $ Ç $-次调和 Green 函数导出的测度的 Minkowski 型存在性与唯一性结果，表明经典 Minkowski 条件既是必要条件也是充分条件，且解在平移意义下唯一。

ABSTRACT

In this article we study two classical problems in convex geometry associated to $\mathcal{A}$-harmonic PDEs, quasi-linear elliptic PDEs whose structure is modeled on the $p$-Laplace equation. Let $p$ be fixed with $2\leq n\leq p

研究动机与目标

• 为凸紧集 $ E \subset \mathbb{R}^n $ 的外部在无穷远处的极点处定义并建立 $ \mathcal{A} $-次调和 Green 函数的存在性与唯一性。
• 引入一个类似容量的量 $ \mathcal{C}_{\mathcal{A}}(E) $，以捕捉 $ \mathcal{A} $-次调和 Green 函数在无穷远处的渐近行为。
• 在凸集的 Minkowski 加法下，证明 $ \mathcal{C}_{\mathcal{A}}(E) $ 的 Brunn-Minkowski 型不等式，且在正则性条件下，等式成立蕴含位似性。
• 为与 $ \mathcal{A} $-次调和 Green 函数相关的测度 $ \mu_E $ 提出并求解一个 Minkowski 型问题，表明经典 Minkowski 条件是必要且充分的。
• 利用 Brunn-Minkowski 不等式与变分方法，建立 Minkowski 问题解在平移意义下的唯一性。

提出的方法

• 将 $ \mathcal{C}_{\mathcal{A}}(E) $ 定义为 $ \mathcal{A} $-次调和 PDE 在 $ \mathbb{R}^n \setminus E $ 上的解在无穷远处的渐近行为。
• 在 $ \mathcal{A} $-次调和 PDE 的背景下，利用变分法与 Perron 方法，证明当 $ p \geq n $ 时 $ \mathcal{A} $-次调和 Green 函数的存在性与唯一性。
• 通过变分法，利用 Hadamard 公式与比较原理，建立 $ \mathcal{C}_{\mathcal{A}}(E) $ 的 Brunn-Minkowski 不等式。
• 利用 Hadamard 变分公式，将 $ \mathcal{C}_{\mathcal{A}}(E_t) $ 关于 Minkowski 组合 $ E_t = (1-t)E_0 + tE_1 $ 的导数与表面测度 $ \mu_E $ 关联起来。
• 利用 $ \mathcal{C}_{\mathcal{A}}(E)^{1/(p-n)} $（当 $ p > n $ 时）或 $ \mathcal{C}_{\mathcal{A}}(E) $（当 $ p = n $ 时）的凹性，证明 Minkowski 问题解在平移意义下的唯一性。
• 使用 Whitney 分解与 Lipschitz 域中的边界估计，控制 $ \mathcal{A} $-次调和函数在 $ E $ 边界附近的增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 由 $ \mathcal{A} $-次调和 Green 函数导出的容量 $ \mathcal{C}_{\mathcal{A}}(E) $ 是否在凸集的 Minkowski 加法下满足 Brunn-Minkowski 型不等式？
• RQ2 在何种条件下，$ \mathcal{C}_{\mathcal{A}}(E) $ 的 Brunn-Minkowski 不等式等式成立蕴含集合之间位似？
• RQ3 能否为由 $ \mathcal{A} $-次调和 Green 函数导出的测度 $ \mu_E $ 提出一个 Minkowski 型问题？其存在性的必要与充分条件是什么？
• RQ4 Minkowski 问题关于 $ \mu_E $ 的解是否在平移意义下唯一？这如何由 Brunn-Minkowski 不等式推出？
• RQ5 外部区域上 $ \mathcal{A} $-次调和函数的变分性质与渐近性质如何与经典几何不等式相关联？

主要发现

• 当 $ n < p < \infty $ 时，量 $ \mathcal{C}_{\mathcal{A}}(E)^{1/(p-n)} $ 满足 Brunn-Minkowski 不等式：$$ \left[\mathcal{C}_{\mathcal{A}}(\lambda E_1 + (1-\lambda)E_2)\right]^{1/(p-n)} \geq \lambda \left[\mathcal{C}_{\mathcal{A}}(E_1)\right]^{1/(p-n)} + (1-\lambda)\left[\mathcal{C}_{\mathcal{A}}(E_2)\right]^{1/(p-n)} $$ 对所有 $ \lambda \in [0,1] $ 成立。
• 当 $ p = n $ 时，泛函 $ \mathcal{C}_{\mathcal{A}}(E) $ 本身在 Minkowski 加法下是凹的：$$ \mathcal{C}_{\mathcal{A}}(\lambda E_1 + (1-\lambda)E_2) \geq \lambda \mathcal{C}_{\mathcal{A}}(E_1) + (1-\lambda)\mathcal{C}_{\mathcal{A}}(E_2) $$
• 若 $ \mathcal{A} $ 的结构与正则性条件满足，则任一 Brunn-Minkowski 不等式中的等式成立当且仅当 $ E_1 $ 与 $ E_2 $ 位似。
• 测度 $ \mu_E $ 的 Minkowski 问题有解当且仅当测度 $ \mu $ 满足经典 Minkowski 条件：$ \mu(\mathbb{S}^{n-1}) > 0 $ 且 $ \int_{\mathbb{S}^{n-1}} \xi \, d\mu(\xi) = 0 $。
• Minkowski 问题关于 $ \mu_E $ 的解在平移意义下唯一，此结论由 $ \mathcal{C}_{\mathcal{A}}(E)^{1/(p-n)} $ 的凹性及 $ t=0 $ 处一阶变分为零所支持。
• 当 $ p = n $ 时，唯一性论证依赖于 $ \mathcal{C}_{\mathcal{A}}(E) $ 在真实伸缩下不变，因此不等式中的等式迫使 $ E_0 $ 与 $ E_1 $ 互为平移。