[论文解读] The C*-algebra of a Hilbert Bimodule

Sergio Doplicher, Claudia Pinzari+1 more|ArXiv.org|Jul 19, 1997

Advanced Operator Algebra Research参考文献 21被引用 16

一句话总结

本文从C*-代数$\mathcal{A}$上的希尔伯特双模$X$构造了一个C*-代数，记为$\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$，推广了Pimsner的$C^*(X)$构造方法。文章建立了$\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$或$C^*(X)$为单或素代数的条件，特别关注当$X$为全模、有限投影且Connes谱为整个圆周$\mathbb{T}$的情形，从而扩展了Cuntz-Krieger代数与交叉积理论的框架。

ABSTRACT

We regard a right Hilbert C*-module X over a C*-algebra A endowed with an isometric *-homomorphism ϕ: A o L_A(X) as an object X_A of the C*-category of right Hilbert A-modules. Following a construction by the first author and Roberts, we associate to it a C*-algebra O_{X_A} containing X as a ``Hilbert A-bimodule in O_{X_A}''. If X is full and finite projective O_{X_A} is the C*-algebra C*(X), the generalization of the Cuntz-Krieger algebras introduced by Pimsner. More generally, C*(X) is canonically embedded in O_{X_A} as the C*-subalgebra generated by X. Conversely, if X is full, O_{X_A} is canonically embedded in the bidual of C*(X). Moreover, regarding X as an object A_X_A of the C*-category of Hilbert A-bimodules, we associate to it a C*-subalgebra O_{A_X_A} of O_{X_A} commuting with A, on which X induces a canonical endomorphism ρ. We discuss conditions under which A and O_{A_X_A} are the relative commutant of each other and X is precisely the subspace of intertwiners in O_{X_A} between the identity and ρon O_{A_X_A}. We also discuss conditions which imply the simplicity of C*(X) or of O_{X_A}; in particular, if X is finite projective and full, C*(X) will be simple if A is X-simple and the ``Connes spectrum'' of X is the circle.

研究动机与目标

• 将Cuntz-Krieger代数的构造推广至任意C*-代数上的希尔伯特双模。
• 定义一个$C^*$-代数$\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$，使其包含$X$作为希尔伯特$\mathcal{A}$-双模，并捕捉由$X$诱导的自同态结构。
• 识别$\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$或相关$C^*(X)$为单或素代数的条件，特别利用Connes谱$\Gamma(X)$或$\hat{\Gamma}(X)$。

提出的方法

• 将$X$定义为带有单位$*$-同态$\phi: \mathcal{A} \to \mathcal{L}_{\mathcal{A}}(X)$的右希尔伯特$\mathcal{A}$-模，使其成为希尔伯特$\mathcal{A}$-双模。
• 将$\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$构造为将$X$视为严格张量$C^*$-范畴$\mathcal{S}_X$中的对象时所关联的$C^*$-代数，推广Pimsner的构造方法。
• 将$C^*(X)$识别为$\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$中由$X$生成的$C^*$-子代数，并在$X$为全模且有限投影时证明其与$\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$相等。
• 将$\mathcal{O}_{{}_{\mathcal{A}}X_{\mathcal{A}}}$定义为$\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$中与$\mathcal{A}$可交换的$C^*$-子代数，并将其与相对交换子$\mathcal{A}' \cap \mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$联系起来。
• 利用Connes谱$\Gamma(X)$和$\hat{\Gamma}(X)$分析$\mathbb{T}$-不变理想，并推导简化条件。
• 应用交叉积理论和$\mathbb{T}$-作用的结果，证明当$\Gamma(X) = \mathbb{T}$且$\mathcal{A}$为$X$-单时，$C^*(X)$或$\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$为单代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，与希尔伯特双模$X$相关联的$C^*$-代数$\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$为单代数？
• RQ2 在什么情况下，$\mathcal{O}_{{}_{\mathcal{A}}X_{\mathcal{A}}}$上的典范自同态会诱导$\mathcal{A}$与$\mathcal{O}_{{}_{\mathcal{A}}X_{\mathcal{A}}}$之间的对偶关系？
• RQ3 Connes谱$\Gamma(X)$或$\hat{\Gamma}(X)$如何与$C^*(X)$或$\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$的素性或简化性相关联？
• RQ4 在何种条件下，$\mathcal{O}_{{}_{\mathcal{A}}X_{\mathcal{A}}}$与相对交换子$\mathcal{A}' \cap \mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$相等？
• RQ5 在哪些情况下，$C^*$-代数$C^*(X)$与$\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$相等，且何时为单代数？

主要发现

• 若$X$为全模且有限投影，则$\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$与$C^*(X)$相等，即广义的Cuntz-Krieger代数。
• 当$X$为全模且$\mathcal{A}$为$X$-单，且$\Gamma(X) = \mathbb{T}$时，$C^*(X)$为单代数。
• 若$X$为全模且$\hat{\Gamma}(X) = \mathbb{T}$，则$\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$为单代数。
• $\mathcal{O}_{{}_{\mathcal{A}}X_{\mathcal{A}}}$自然嵌入于$\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$中并与$\mathcal{A}$可交换，且在附加条件下与相对交换子相等。
• 若$X$为全模且$\mathcal{A}$为$X$-素，且$\Gamma(X) = \mathbb{T}$，则$C^*(X)$为素代数。
• 当$\mathcal{A}$为$X$-单且$X$为全模与有限投影时，Connes谱$\Gamma(X) = \mathbb{T}$是$C^*(X)$为$\mathbb{T}$-单的充要条件。