[论文解读] The $C\ell(8)$ algebra of three fermion generations with spin and full internal symmetries

Adam B. Gillard, Niels G. Gresnigt|arXiv (Cornell University)|May 20, 2019

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 23被引用 11

一句话总结

本文提出，复 Clifford 代数 $\mathrm{Cl}(8)$ 天然地编码了标准模型费米子的三代，包括自旋、手征性、弱同位spin以及电色对称性。通过将描述一代费米子的 $\mathrm{Cl}(6)$ 框架扩展至 $\mathrm{Cl}(8)$，$\mathrm{Cl}(8)$ 的三重性自同构提供了一种几何机制，恰好生成三代费米子；左伴随作用编码了洛伦兹对称性和弱规范对称性，右伴随作用编码了电色规范对称性。

ABSTRACT

In this paper, the basis states of the minimal left ideals of the complex Clifford algebra $C\ell(8)$ are shown to contain three generations of Standard Model fermion states, with full Lorentzian, right and left chiral, weak isospin, spin, and electrocolor degrees of freedom. The left adjoint action algebra of $C\ell(8)\cong\mathbb{C}(16)$ on its minimal left ideals contains the Dirac algebra, weak isopin and spin transformations. The right adjoint action algebra on the other hand encodes the electrocolor symmetries. These results extend earlier work in the literature that shows that the eight minimal left ideals of $\mathbb{C}(8)\cong C\ell(6)$ contain the quark and lepton states of one generation of fixed spin. Including spin degrees of freedom extends $C\ell(6)$ to $C\ell(8)$, which unlike $C\ell(6)$ admits a triality automorphism. It is this triality that underlies the extension from a single generation of fermions to exactly three generations.

研究动机与目标

• 将仅编码固定自旋一代费米子的 $\mathrm{Cl}(6)$ 框架扩展，以包含自旋自由度。
• 证明 $\mathrm{Cl}(8)$（与 $\mathrm{Cl}(6)$ 不同）具有三重性自同构，该自同构天然导致恰好三代费米子。
• 将 $\mathrm{Cl}(8)$ 在其最小左理想上的左伴随作用与右伴随作用解释为物理对称性：左作用对应洛伦兹对称性和弱同位spin，右作用对应电色规范对称性。
• 表明物理费米子态位于 $\mathrm{Cl}^+(8) \cong \mathrm{Cl}(7) \cong \mathbb{C}(8) \oplus \mathbb{C}(8)$ 中，每个 $\mathbb{C}(8)$ 块对应一组固定自旋态的一代费米子。
• 确立 $U(3)_{\mathrm{ec}}$ 电色对称性作为 $U(4)$ MTIS 对称性群中保持物理旋量的极大子群。

提出的方法

• 利用同构关系 $\mathrm{Cl}(8) \cong \mathbb{C}(16)$，将 16 个最小左理想表示为 $\mathbb{C}(16)$ 中的 16 维列向量。
• 区分左乘法（理想内部的行置换）与右乘法（理想之间的列置换），分别对应内部对称性和态变换。
• 将左伴随作用代数 $\mathrm{Cl}(8)_L \cong \mathbb{C}(16)$ 识别为编码狄拉克代数、弱同位spin和自旋-z 对称性的结构，其形式为 $C\ell(4)_{\mathrm{Dirac}} \otimes C\ell(2)_{\mathrm{isospin}} \otimes C\ell(2)_{\mathrm{spin}}$。
• 将右伴随作用代数识别为 MTIS 对称性群 $U(4)$，其中 $U(3)_{\mathrm{ec}}$ 为保持物理旋量的子群。
• 利用 $\mathrm{Cl}(8)$ 的三重性自同构，将 16 个最小左理想映射为三个不同的费米子世代，每个世代对应于 $\mathrm{Cl}^+(8) \cong \mathbb{C}(8) \oplus \mathbb{C}(8)$ 中的一个 $\mathrm{Cl}(7)$-类旋量块。
• 限制在 $\mathrm{Cl}^+(8) \cong \mathbb{C}(8) \oplus \mathbb{C}(8)$ 中以获得物理旋量，其中每个 $\mathbb{C}(8)$ 块包含一组固定自旋的费米子态。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用 $\mathrm{Cl}(8)$ 代数编码具有完整自旋与内禀对称性的三代费米子？
• RQ2 $\mathrm{Cl}(8)$ 中的三重性起什么作用，使其能从单一代数结构自然生成恰好三代费米子？
• RQ3 $\mathrm{Cl}(8)$ 的左与右伴随作用如何对应于标准模型中的洛伦兹、弱同位spin与电色对称性？
• RQ4 为何从 $\mathrm{Cl}(6)$ 扩展到 $\mathrm{Cl}(8)$ 能够包含自旋自由度并使三重性现象出现？
• RQ5 在 $\mathrm{Cl}(8)$ 框架中，物理费米子态如何与非物理的皮诺尔态相区分？

主要发现

• 在 $\mathrm{Cl}(8) \cong \mathbb{C}(16)$ 中，16 个最小左理想被划分为三代费米子，每代对应于 $\mathrm{Cl}^+(8) \cong \mathbb{C}(8) \oplus \mathbb{C}(8)$ 中的三个 $\mathrm{Cl}(7)$-类旋量块之一。
• 在最小左理想上，$\mathrm{Cl}(8)$ 的左伴随作用实现了狄拉克代数、弱同位spin和自旋-z 对称性，其中 $C\ell(4)_{\mathrm{Dirac}} \otimes C\ell(2)_{\mathrm{isospin}} \otimes C\ell(2)_{\mathrm{spin}}$ 结构在每个 $\mathbb{C}(8)$ 块上不可约地作用。
• 右伴随作用代数为 MTIS 对称性群 $U(4)$，其子群 $U(3)_{\mathrm{ec}}$ 在每个 $\mathbb{C}(8)$ 块上不可约地作用，保持色荷并对应于电色规范对称性。
• $\mathrm{Cl}(8)$ 的三重性自同构（$\mathrm{Cl}(6)$ 中不存在）提供了自然导致恰好三代费米子的几何机制。
• 在 $C\ell(2)_{\mathrm{spin}}$ 中的阶梯自旋算符将物理旋量映射为非物理的皮诺尔态，确认仅 $\mathrm{Cl}(7)_{\mathrm{Dirac+isospin+spin-z}}$ 子代数保持物理态。
• 全部 192 个态（每代 64 个 × 3 代）被编码于 16 个最小左理想中，自旋向上与自旋向下的态分别占据每个理想列的前 8 行与后 8 行。