[论文解读] The Cahn-Hilliard equation on an evolving surface

David O'Connor, Björn Stinner|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2016

Solidification and crystal growth phenomena参考文献 22被引用 5

一句话总结

本文将形式渐近展开方法扩展至演化曲面，推导Cahn-Hilliard方程的尖锐界面极限，通过物质时间导数考虑域运动的影响。根据迁移率标度的不同，识别出两种不同的自由边界问题：一种是恒定迁移率情形，得到带有输运项的Mullins-Sekerka型问题；另一种是退化迁移率情形，导致带有曲率和输运贡献的表面扩散方程，数值模拟在二维和三维设置中得到验证。

ABSTRACT

We study the asymptotic limit of the Cahn-Hilliard equation on an evolving surface with prescribed velocity. The method of formally matched asymptotic expansions is extended to account for the movement of the domain. We consider various forms for the mobility and potential functions, in particular, with regards to the scaling of the mobility with the interface thickness parameter. Mullins-Sekerka, but also surface diffusion type problems, can be derived featuring additional terms which are due to the domain evolution. The asymptotic behaviour is supported and further explored with some numerical simulations.

研究动机与目标

• 将渐近分析技术扩展至移动曲面，以处理Cahn-Hilliard方程并考虑演化域几何的影响。
• 研究表面演化（通过速度场和曲率）如何改变相分离动力学的尖锐界面极限。
• 根据迁移率标度对所得自由边界问题进行分类：恒定迁移率与退化迁移率。
• 探讨由曲面形变引起的相界面拓扑变化，特别是在非定常情形下。
• 通过在演化环面和球面表面上的数值模拟验证理论预测。

提出的方法

• 在ε → 0的极限下应用形式匹配的渐近展开，其中ε为界面厚度参数。
• 通过在移动曲面上匹配内层（边界层）与外层（本体）展开，推导相界面的演化。
• 引入物质时间导数∂•_t = ∂_t + v·∇，以在控制PDE中考虑域运动的影响。
• 使用曲面微分算子：∇_Γ(t)（曲面梯度）、Δ_Γ(t)（Laplace-Beltrami算子）及曲面散度。
• 考虑两种迁移率情形：M(u) ∼ ε⁰（恒定迁移率）与M(u) ∼ ε⁻¹（退化迁移率），分别导出不同的极限方程。
• 推导包含化学势、平均曲率及由曲面速度引起的输运项的极限尖锐界面问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 域演化如何影响移动曲面上Cahn-Hilliard方程的尖锐界面极限？
• RQ2 在迁移率函数的不同标度下，会涌现出哪些不同的自由边界问题？
• RQ3 渐近方法能否扩展至处理移动域，特别是在存在曲面速度和曲率的情况下？
• RQ4 曲面演化如何诱导相界面的拓扑变化，如自相交或分裂？
• RQ5 曲面速度场的散度在对数势的深淬火极限中起到何种作用？

主要发现

• 对于恒定迁移率（M ∼ ε⁰），尖锐界面极限导出带有附加输运项的Mullins-Sekerka型问题，该输运项源于曲面运动。
• 对于退化迁移率（M ∼ ε⁻¹），极限退化为带有测地曲率和来自域演化的输运项的表面扩散方程。
• 在演化环面上的数值模拟表明，曲面形变可导致单一界面自相交并分裂为两个，引发在静态曲面上不可能出现的拓扑变化。
• 演化情形下的能量演化显示，在拓扑转变期间能量先上升，随后稳定在高于静态情形的水平，表明存在局部极小值。
• 对数势的深淬火极限仅在速度场为曲面散度为零时收敛至双障碍模型。
• 渐近框架在旋转对称情形下成功捕捉了正确的动力学行为，数值结果支持理论预测。