[论文解读] The Calderón problem for the fractional Schrödinger equation

Tuhin Ghosh, Mikko Salo+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2016

Numerical methods in inverse problems被引用 7

一句话总结

本论文建立了从外部测量中恢复分数阶薛定谔方程势能的反问题的全局唯一性，证明了在任意维度 $n \geq 2$ 下，外部区域任意开子集上的Dirichlet-to-Neumann映射唯一确定了该势能在 $\Omega$ 中的取值。该结果通过解的解的新强逼近性质，将经典的Calderón问题推广至非局部分数阶情形。

ABSTRACT

We show global uniqueness in an inverse problem for the fractional Schrödinger equation: an unknown potential in a bounded domain is uniquely determined by exterior measurements of solutions. We also show global uniqueness in the partial data problem where the measurements are taken in arbitrary open, possibly disjoint, subsets of the exterior. The results apply in any dimension $\geq 2$ and are based on a strong approximation property of the fractional equation that extends earlier work. This special feature of the nonlocal equation renders the analysis of related inverse problems radically different from the traditional Calderón problem.

研究动机与目标

• 建立有界势能下分数阶薛定谔方程反问题的全局唯一性。
• 解决测量取自外部区域任意开集（可能不连通）的局部数据问题。
• 将经典的Calderón问题推广至非局部分数阶情形，其中分数阶Laplacian引入了根本不同的分析行为。
• 证明在任意外部开子集上，Dirichlet-to-Neumann映射唯一确定 $\Omega$ 中的势能 $q$。
• 展示分数阶方程的非局部性使得其具备在局部情形下所不具备的强逼近性质。

提出的方法

• 在有界区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$（$n \geq 2$）中形式化分数阶薛定谔方程 $((-\Delta)^s + q)u = 0$，其中 $0 < s < 1$。
• 通过与分数阶Dirichlet问题相关的双线性形式定义Dirichlet-to-Neumann（DN）映射 $\Lambda_q$，将外部数据 $f \in H^s(\Omega_e)$ 映射到一个非局部Neumann迹。
• 利用分数阶方程解的强逼近性质，证明具有紧支集外部数据的解在某个函数空间中是稠密的。
• 在Fréchet空间中应用Hahn-Banach定理与对偶性论证，将唯一性问题约化为在某集合上数据为零的非局部方程的可解性问题。
• 利用分数阶Laplacian的唯一延拓性质，得出在某开集上为零的解必处处为零，从而强制势能唯一。
• 利用分数阶算子诱导的函数空间之间的同胚关系，将外部区域的收敛性与稠密性结果传递至内部区域。

实验结果

研究问题

• RQ1 分数阶薛定谔方程中的势能 $q$ 是否能从Dirichlet-to-Neumann映射的外部测量中唯一恢复？
• RQ2 当测量取自外部区域的不连通开集时，分数阶薛定谔方程的局部数据问题是否具有唯一解？
• RQ3 与经典局部情形相比，分数阶Laplacian的非局部性如何影响反问题的可解性与唯一性？
• RQ4 解的强逼近性质在证明非局部反问题唯一性中起到什么作用？
• RQ5 即使数据不在整个边界上，Dirichlet-to-Neumann映射在任意外部开集上是否仍能唯一确定势能？

主要发现

• 在任意外部开子集 $W_2 \subset \Omega_e$ 上的Dirichlet-to-Neumann映射 $\Lambda_q$ 唯一确定了分数阶薛定谔方程中 $q \in L^\infty(\Omega)$ 的势能。
• 即使测量取自外部区域的不连通开集 $W_1, W_2 \subset \Omega_e$，全局唯一性依然成立，从而在非局部情形下解决了局部数据问题。
• 该证明依赖于一个强逼近性质：具有紧支集外部数据的解在 $\overline{\Omega}$ 上光滑函数空间中是稠密的。
• 分数阶Laplacian的非局部性使得唯一延拓性质成为可能，从而可从最少的外部数据中恢复 $q$。
• 该结果在所有维度 $n \geq 2$ 下成立，推广了此前对局部薛定谔方程的结果。
• 该方法表明，即使数据不在整个边界上或空间上分离，任意外部开集上的DN映射仍能唯一确定势能。