[论文解读] The Calderón problem for the fractional Schrödinger equation with drift

Mihajlo Cekić, Yi‐Hsuan Lin+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2018

Numerical methods in inverse problems被引用 5

一句话总结

该论文首次在任意维度 $ n \geq 1 $ 下建立了带漂移项的分数阶Calderón问题的唯一性与稳定性结果，证明了仅通过无限外部测量即可唯一恢复漂移项与势能项。与局部情形不同，非局部问题不具有规范对称性，从而实现了系数的完全恢复；同时，利用奇点理论与Runge逼近构造了基于有限测量的重建算法。

ABSTRACT

We investigate the Calderón problem for the fractional Schrödinger equation with drift, proving that the unknown drift and potential in a bounded domain can be determined simultaneously and uniquely by an infinite number of exterior measurements. In particular, in contrast to its local analogue, this nonlocal problem does \emph{not} enjoy a gauge invariance. The uniqueness result is complemented by an associated logarithmic stability estimate under suitable apriori assumptions. Also uniqueness under finitely many \emph{generic} measurements is discussed. Here the genericity is obtained through \emph{singularity theory} which might also be interesting in the context of hybrid inverse problems. Combined with the results from \cite{GRSU18}, this yields a finite measurements constructive reconstruction algorithm for the fractional Calderón problem with drift. The inverse problem is formulated as a partial data type nonlocal problem and it is considered in any dimension $n\geq 1$.

研究动机与目标

• 解决从边界测量中恢复分数阶Schrödinger方程中漂移项与势能系数的逆问题。
• 建立非局部Calderón问题带漂移项的唯一性与稳定性，克服局部情形中存在规范对称性障碍的问题。
• 基于奇点理论与Runge逼近，为分数阶Calderón问题带漂移项开发一种基于有限测量的重建算法。
• 将逆问题的适用范围扩展至一般维度 $ n \geq 1 $，包括临界情形 $ n=1 $。
• 在先验假设下提供定量稳定性估计，以补充唯一性结果。

提出的方法

• 将逆问题表述为有界区域 $ \Omega \subset \mathbb{R}^n $（$ n \geq 1 $）内的部分数据非局部边界值问题。
• 利用Runge逼近性质构造具有预设渐近行为的解，从而实现对Dirichlet-to-Neumann映射的控制。
• 建立定量唯一延拓估计，以边界数据控制解之间的差异。
• 应用Whitney的奇点理论分析有限测量中出现的行列式的通用性，确保通用测量集合可实现唯一恢复。
• 通过结合高阶逼近技术与非零行列式的通用性，构建基于有限测量的重建算法。
• 通过结合定量唯一延拓与Runge逼近性质，在系数的先验有界性假设下，推导出对数稳定性估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 分数阶Schrödinger方程中的漂移项与势能项能否通过无限多个外部测量唯一恢复？
• RQ2 在非局部设定下，由于缺乏规范对称性，是否能够实现对两个系数的完全恢复，而不同于局部磁Schrödinger方程的情形？
• RQ3 在分数阶Calderón问题带漂移项中，是否可能通过有限个通用测量实现唯一恢复？
• RQ4 在系数的先验有界性假设下，该逆问题的稳定性如何？能否建立定量的对数稳定性估计？
• RQ5 如何利用奇点理论确保通用有限测量集合可实现对系数的唯一确定？

主要发现

• 分数阶Calderón问题带漂移项在无限外部测量下可唯一恢复漂移项与势能项，且不受规范对称性障碍影响。
• 非局部设定下缺乏规范对称性，使得系数可被完全识别，这与局部磁Schrödinger方程情形不同。
• 在漂移项与势能项的先验有界性假设下，建立了对数稳定性估计，量化了逆问题的稳定性。
• 基于奇点理论与Runge逼近，构造了基于有限测量的重建算法，证明了通用有限测量集合足以实现唯一恢复。
• 通过奇点理论证明了测量设置中非零行列式的通用性，确保重建结果对测量数据的小扰动具有鲁棒性。
• 结果在任意维度 $ n \geq 1 $ 下成立，将分数阶Calderón问题的适用范围从经典情形 $ n \geq 3 $ 扩展至一般维度。