[论文解读] The Calder\'on-Zygmund inequality and Sobolev spaces on noncompact Riemannian manifolds

Batu Güneysu, Stefano Pigola|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 25被引用 5

一句话总结

本文在非紧致黎曼流形上引入并系统研究了 Calderón-Zygmund 不等式，建立了其在 Lp 空间中成立的充分几何条件，如有界 Ricci 曲率和正的注入半径。主要贡献在于证明在这些条件下，二阶 Sobolev 空间具有良好的性质，涵盖稠密性、正则性及梯度估计等方面的应用。

ABSTRACT

We introduce the concept of Calder\'on-Zygmund inequalities on Riemannian manifolds. For $1<p<\infty$, these are inequalities of the form $$ \left\Vert \mathrm{Hess}\left( u ight) ight\Vert _{L^p}\leq C_{1}\left\Vert u ight\Vert _{L^p}+C_{2}\left\Vert \Delta u ight\Vert _{L^p}, $$ valid a priori for all smooth functions $u$ with compact support, and constants $C_1\geq 0$, $C_2>0$. Such an inequality can hold or fail, depending on the underlying Riemannian geometry. After establishing some generally valid facts and consequences of the Calder\'on-Zygmund inequality (like new denseness results for second order $\mathsf{L}^p$-Sobolev spaces and gradient estimates), we establish sufficient geometric criteria for the validity of these inequalities on possibly noncompact Riemannian manifolds. These results in particular apply to many noncompact hypersurfaces of constant mean curvature.

研究动机与目标

• 将非紧致黎曼流形上的 Calderón-Zygmund 不等式定义并分析为二阶 Lp-Sobolev 空间理论的统一工具。
• 解决关于光滑紧支集函数在 H2,p(M) 中稠密性以及 Poisson 方程解正则性的开放问题。
• 建立不等式成立的充分几何准则，如有界 Ricci 曲率和正的注入半径。
• 证明不等式蕴含关键分析工具，如梯度估计以及 Rellich-Kondrachov 型论证中的紧致性。
• 展示不等式在紧致扰动下以及在测地球上的稳定性，并明确依赖于曲率与几何的显式关系。

提出的方法

• 将 Calderón-Zygmund 不等式引入为：对所有 u ∈ C∞c(M)，有 ∥Hess(u)∥Lp ≤ C1∥u∥Lp + C2∥Δu∥Lp，其中 C1 ≥ 0，C2 > 0。
• 利用二阶截断函数（Hessian 与 Laplacian）推导 Sobolev 空间稠密性与正则性的结果。
• 应用 Lp 插值技术，证明 CZ(p) 蕴含梯度估计 ∥grad(f)∥Lp ≤ C(∥Δf∥Lp + ∥f∥Lp)。
• 通过 Lp 插值技术的拼接方法，在具有光滑边界且 C1 = 0 的相对紧致区域上建立 CZ(p) 的局部有效性。
• 结合椭圆估计与调和半径界（定理 1.2）以及协变 Riesz 变换有界性结果（定理 1.3），证明全局性结果。
• 利用调和坐标与度量张量的 Ck,α 估计控制曲率与注入半径，从而导出调和半径的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非紧致黎曼流形上，何种几何条件下，Calderón-Zygmund 不等式在 Lp 中对 1 < p < ∞ 成立？
• RQ2 Calderón-Zygmund 不等式中的常数如何依赖于曲率与注入半径？
• RQ3 Calderón-Zygmund 不等式对 C∞c(M) 在 H2,p(M) 中的稠密性有何影响？
• RQ4 能否利用 Calderón-Zygmund 不等式推导 Sobolev 空间中的梯度估计与紧致性性质？
• RQ5 Calderón-Zygmund 不等式在紧致扰动或流形拼接下是否稳定？

主要发现

• 对于测地完备且曲率张量有界的流形，有 H2,p0(M) = H2,p(M) 对所有 1 < p < ∞ 成立，即使不假设注入半径为正。
• 若 M 具有有界 Ricci 曲率和正的注入半径，则 CZ(p) 成立，且常数仅依赖于 dim M、p、∥Ric∥∞ 及注入半径。
• 当 1 < p ≤ 2 时，若 M 具有一阶有界几何性，并满足体积增长条件 vol(Btr(x)) ≤ D t^δ r^δ vol(Br(x))（t ≥ 1），则 CZ(p) 成立，常数依赖于 dim M、p、∥R∥∞、∥∇R∥∞、D 与 δ。
• 在足够小的测地球上，CZ(p) 成立，常数仅依赖于半径、dim M、p 及调和半径的下界。
• Calderón-Zygmund 不等式在紧致扰动下（包括具有紧致边界的流形拼接）是稳定的。
• 当 p = 2 时，若下界 Ric ≥ −C，则通过 Bochner 恒等式可推出 CZ(2) 的更强无穷小版本，且显式常数依赖于 C。