[论文解读] The Calderon problem in transversally anisotropic geometries

David Dos Santos Ferreira, Yaroslav Kurylev+2 more|arXiv (Cornell University)|May 6, 2013

Numerical methods in inverse problems参考文献 35被引用 8

一句话总结

该论文将各向异性的Calderón问题推广至横截各向异性几何结构，且无需假设横截流形为简单流形。通过利用高斯束拟模态构造复几何光学解，证明了边界测量唯一确定了未知系数的混合傅里叶变换/衰减测地线射线变换，当横截流形上的测地线射线变换为单射时，唯一性得以确立。在无限圆柱情形下，横截度量可由边界数据唯一恢复。

ABSTRACT

We consider the anisotropic Calderón problem of recovering a conductivity matrix or a Riemannian metric from electrical boundary measurements in three and higher dimensions. In the earlier work [8], it was shown that a metric in a fixed conformal class is uniquely determined by boundary measurements under two conditions: (1) the metric is conformally transversally anisotropic (CTA), and (2) the transversal manifold is simple. In this paper we will consider geometries satisfying (1) but not (2). The first main result states that the boundary measurements uniquely determine a mixed Fourier transform / attenuated geodesic ray transform (or integral against a more general semiclassical limit measure) of an unknown coefficient. In particular, one obtains uniqueness results whenever the geodesic ray transform on the transversal manifold is injective. The second result shows that the boundary measurements in an infinite cylinder uniquely determine the transversal metric. The first result is proved by using complex geometrical optics solutions involving Gaussian beam quasimodes, and the second result follows from a connection between the Calderón problem and Gel’fand’s inverse problem for the wave equation.

研究动机与目标

• 将各向异性Calderón问题推广至共形横截各向异性（CTA）几何结构，但不要求横截方向为简单流形。
• 在横截流形不满足简单性条件时，建立从边界测量恢复横截各向异性黎曼流形中系数的唯一性结果。
• 在无限圆柱背景下，将Calderón问题与Gel’fand对波动方程的逆问题联系起来。
• 证明边界测量唯一确定未知系数的混合傅里叶变换/衰减测地线射线变换。

提出的方法

• 针对横截各向异性结构，利用高斯束拟模态构造复几何光学解。
• 分析解在半经典极限下的渐近行为，以提取关于未知系数的信息。
• 通过混合变换将逆问题约化为横截流形上测地线射线变换的单射性。
• 运用微局部分析与振荡积分技术，处理衰减射线变换及其与边界测量的关系。
• 在无限圆柱设定下，严谨建立Calderón问题与Gel’fand对波动方程逆问题之间的联系。
• 应用平稳相位法与参数解构造技术，分析解在边界附近的性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 当横截流形非简单时，是否可解横截各向异性几何结构下的各向异性Calderón问题？
• RQ2 在何种条件下，边界测量能唯一确定CTA几何结构中未知系数？
• RQ3 横截流形上测地线射线变换在确定系数唯一性中起何作用？
• RQ4 Calderón问题与无限圆柱几何中Gel’fand对波动方程的逆问题有何关联？
• RQ5 能否利用高斯束拟模态构造的复几何光学解，从边界数据恢复关于系数的信息？

主要发现

• 在横截各向异性几何结构中，边界测量唯一确定了未知系数的混合傅里叶变换/衰减测地线射线变换。
• 当横截流形上的测地线射线变换为单射时，系数的唯一性得以确立。
• 在无限圆柱情形下，横截度量可由边界测量唯一确定。
• 该方法依赖于利用高斯束拟模态构造的复几何光学解，从而实现半经典极限下的渐近分析。
• 在圆柱设定下，严谨建立了Calderón问题与Gel’fand对波动方程逆问题之间的联系。
• 结果推广了早期唯一性结果，消除了对横截流形为简单的假设要求。