[论文解读] The Calogero-Moser partition and Rouquier families for complex reflection groups

Maurizio Martino|ArXiv.org|Jan 10, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 21被引用 3

一句话总结

本文提出一个猜想，将复反射群的不可约表示的 Calogero-Moser 划分与循环 Hecke 代数中的 Rouquier 家族联系起来。通过证明 Rouquier 家族细化了 Calogero-Moser 划分，该猜想在半直积群 $G(l,1,n) = \mathbb{Z}/l\mathbb{Z} \wr S_n$ 的情形下得到验证，其中块大小具有几何解释，并通过幂级数的剩余条件与高阶 Fock 空间建立联系。

ABSTRACT

Let $W$ be a complex reflection group. We formulate a conjecture relating blocks of the corresponding restricted rational Cherednik algebras and Rouquier families for cyclotomic Hecke algebras. We verify the conjecture in the case that $W$ is a wreath product of a symmetric group with a cyclic group of order $l$.

研究动机与目标

• 提出一个猜想，将受限有理 Cherednik 代数（Calogero-Moser 划分）的块与复反射群的循环 Hecke 代数中的 Rouquier 家族联系起来。
• 在半直积群 $G(l,1,n) = \mathbb{Z}/l\mathbb{Z} \wr S_n$ 的情形下验证该猜想。
• 通过幂级数的剩余条件，为每个 Rouquier 块的大小提供几何解释。
• 通过组合不变量将 Calogero-Moser 划分与 $U_v(\mathfrak{sl}_\infty)$ 的高阶 Fock 空间表示联系起来。

提出的方法

• 将受限有理 Cherednik 代数 $\overline{H}_{\mathbf{k}}$ 定义为有理 Cherednik 代数 $H_{\mathbf{k}}$ 的有限维商代数，其块定义了 $\mathrm{Irr}W$ 的 Calogero-Moser 划分。
• 利用同构 $H_{\mathbf{k}} \cong H_{\lambda\mathbf{k}}$ 对参数进行归一化，以简化 Calogero-Moser 划分的分析。
• 通过幂级数 $\mathrm{Res}^{\overline{\mathbf{m}}}_{\boldsymbol{\lambda}}(x^d)$ 的剩余条件，建立 Rouquier 家族与多分拆的 $J$-心之间的组合对应关系。
• 证明 $\boldsymbol{\lambda} \sim_{R_{\mathbf{m}}} \boldsymbol{\mu}$ 当且仅当 $\mathrm{Res}^{\overline{\mathbf{m}}}_{\boldsymbol{\lambda}}(x^d) = \mathrm{Res}^{\overline{\mathbf{m}}}_{\boldsymbol{\mu}}(x^d)$，利用对 $x^k\mathbb{Z}[x^d,x^{-d}]$ 分量的投影。
• 通过定理 3.9 证明相等的 $J$-心蕴含 $\boldsymbol{\lambda} \sim_{CM_{\mathbf{h}}} \boldsymbol{\mu}$，并利用参数缩放关系联系 $CM_{\mathbf{h}}$ 与 $CM_{d\mathbf{h}}$ 划分。
• 将 Calogero-Moser 划分与 $U_v(\mathfrak{sl}_\infty)$ 的高阶 Fock 空间 $F(\Lambda_{\mathbf{m}})$ 中基向量 $s_{\boldsymbol{\lambda}}$ 的权联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 复反射群的不可约表示的 Rouquier 家族是否细化了 Calogero-Moser 划分？
• RQ2 每个 Rouquier 块的大小是否可通过幂级数的剩余条件进行几何解释？
• RQ3 Calogero-Moser 划分与高阶 Fock 空间表示中向量的权之间是否存在联系？
• RQ4 该猜想在半直积群 $G(l,1,n)$ 上是否成立？若成立，其背后的组合机制是什么？
• RQ5 $\mathbf{k}$ 与 $\mathbf{m}$ 参数在 Cherednik 代数与 Hecke 代数设置中如何与块结构相关联？

主要发现

• 通过显式比较两个划分，验证了在 $G(l,1,n)$ 情形下，Rouquier 家族细化 Calogero-Moser 划分的猜想。
• 对于两个多分拆 $\boldsymbol{\lambda}, \boldsymbol{\mu} \in \mathcal{P}(l,n)$，当且仅当 $\mathrm{Res}^{\overline{\mathbf{m}}}_{\boldsymbol{\lambda}}(x^d) = \mathrm{Res}^{\overline{\mathbf{m}}}_{\boldsymbol{\mu}}(x^d)$ 时，它们属于同一 Rouquier 家族。
• 对于 $G(l,1,n)$，Calogero-Moser 划分与 $U_v(\mathfrak{sl}_\infty)$ 的高阶 Fock 空间 $F(\Lambda_{\mathbf{m}})$ 中基向量的权的划分完全一致。
• 多分拆的 $J$-心决定了其 Calogero-Moser 块，且相等的 $J$-心蕴含在 $CM_{\mathbf{h}}$ 下的块等价性。
• 参数缩放性质 $\overline{H}_{\mathbf{k}} \cong \overline{H}_{d\mathbf{k}}$ 意味着 $\boldsymbol{\lambda} \sim_{CM_{\mathbf{h}}} \boldsymbol{\mu}$ 当且仅当 $\boldsymbol{\lambda} \sim_{CM_{d\mathbf{h}}} \boldsymbol{\mu}$。
• 每个 Rouquier 块的几何大小由满足相同剩余条件 $\mathrm{Res}^{\overline{\mathbf{m}}}_{\boldsymbol{\lambda}}(x^d)$ 的多分拆数量决定。