[论文解读] The canonical class and the $C^\infty$ properties of Kähler surfaces

Rogier Brussee|ArXiv.org|Mar 10, 1995

Geometry and complex manifolds参考文献 30被引用 32

一句话总结

该论文利用具有无限维弗雷德霍姆截面的局部欧拉类的塞伯格-威滕理论，证明了对于非负双亏格的凯勒曲面，其极小模型的典范类与(−1)-曲线的同调类是定向微分同胚不变量（符号除外）。该研究证明了双亏格与多重性为微分同胚不变量，并统一计算了所有此类曲面（包括pg = 0和椭圆曲面）的塞伯格-威滕不变量，且无需依赖唐纳森理论。

ABSTRACT

We give a self contained proof using Seiberg Witten invariants that for Kähler surfaces with non negative Kodaira dimension (including those with $p_g = 0$) the canonical class of the minimal model and the $(-1)$-curves, are oriented diffeomorphism invariants up to sign. This implies that the Kodaira dimension is determined by the underlying differentiable manifold (Van de Ven Conjecture). We use a set up that replaces generic metrics by the construction of a localised Euler class of an infinite dimensional bundle with a Fredholm section. This allows us to compute the Seiberg Witten invariants of all elliptic surfaces with excess intersection theory. We then reprove that the multiplicities of the elliptic fibration are determined by the underlying oriented manifold, and that the plurigenera of a surface are oriented diffeomorphism invariants.

研究动机与目标

• 证明对于非负双亏格的凯勒曲面，其极小模型的典范类Kmin与(−1)-曲线是符号以外的定向微分同胚不变量。
• 证明此类曲面的双亏格与多重性由其底层光滑流形决定。
• 通过无限维 gauge 理论中的局部欧拉类方法，统一计算所有双亏格κ ≥ 0的凯勒曲面的塞伯格-威滕不变量。
• 重新证明椭圆纤维化重数的微分同胚不变性，并为范德文猜想提供一种新的证明。

提出的方法

• 基于无限维丛的弗雷德霍姆截面的局部欧拉类，重新表述塞伯格-威滕理论，从而实现过剩交计算技术。
• 应用族指标定理（格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理），计算模空间上行列式线丛的示性类。
• 通过模空间上垂直线丛与有效除子之间的自然同构，将塞伯格-威滕重数的计算约化为椭圆曲线的对称积。
• 通过将模空间与弗雷德霍姆余核关联，统一处理pg = 0的情形，将重数识别为过度扩张模空间的局部欧拉类。
• 利用曲面上线丛的爆破公式，关联爆破前后模空间与重数之间的关系。
• 在凯勒设定下，通过全纯解释单极方程，将解与全纯截面及有效除子联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于双亏格非负的凯勒曲面，其典范类Kmin是否为符号以外的定向微分同胚不变量？
• RQ2 在双亏格κ ≥ 0的凯勒曲面下，(−1)-曲线的同调类是否在定向微分同胚下保持不变？
• RQ3 能否通过局部欧拉类方法，统一计算所有双亏格κ ≥ 0的凯勒曲面的塞伯格-威滕不变量？
• RQ4 对于凯勒曲面，椭圆纤维化的重数是否由其底层定向光滑流形决定？
• RQ5 凯勒曲面在双亏格κ ≥ 0时的多重性是否仅依赖于其底层流形的微分同胚类型？

主要发现

• 对于所有非负双亏格的凯勒曲面（包括pg = 0情形），典范类Kmin是符号以外的定向微分同胚不变量。
• 每个(−1)-球面在整数同调意义下与一个(−1)-曲线同调（符号除外），从而建立了有理曲面与可程曲面的微分同胚刻画。
• 凯勒曲面的双亏格是其底层光滑流形的微分同胚不变量。
• 凯勒曲面的多重性由其底层流形的定向微分同胚类型决定。
• 所有双亏格κ ≥ 0的凯勒曲面的塞伯格-威滕不变量均通过局部欧拉类显式计算得出，其闭式表达式以示性类与椭圆曲线的对称积表示。
• 凯勒椭圆曲面中椭圆纤维化的重数由其底层定向光滑流形决定，通过基于塞伯格-威滕理论的新证明确认了该猜想。