[论文解读] The Capacity of Symmetric Private Information Retrieval under Arbitrary Collusion and Eavesdropping Patterns

Jiale Cheng, Nan Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2020

Cryptography and Data Security被引用 4

一句话总结

该论文在复制数据库中确定了任意共谋和窃听模式下的对称私有信息检索（SPIR）容量。研究表明，容量取决于一个推导出的参数 $ F^* $，即基于共谋和窃听模式并集的线性规划的最优解，揭示了共谋和窃听约束在容量影响上具有可交换性。

ABSTRACT

We study the symmetric private information retrieval (SPIR) problem under arbitrary collusion and eavesdropping patterns for replicated databases. We find its capacity, which is the same as the capacity of the original SPIR problem with the number of databases $N$ replaced by a number $F^*$. The number $F^*$ is the optimal solution to a linear programming problem that is a function of the joint pattern, which is the union of the collusion and eavesdropping pattern. This is the first result that shows how two arbitrary patterns collectively affect the capacity of the PIR problem. We draw the conclusion that for SPIR problems, the collusion and eavesdropping constraints are interchangeable in terms of capacity. As special cases of our result, the capacity of the SPIR problem under arbitrary collusion patterns and the capacity of the PIR problem under arbitrary eavesdropping patterns are also found.

研究动机与目标

• 确定当服务器可能共谋且外部窃听者可能监控查询和响应时，对称私有信息检索（SPIR）的容量。
• 建模任意共谋和窃听模式对 SPIR 容量的联合影响，突破对称或均匀模式的限制。
• 推导出一个统一的容量表达式，推广先前针对 T-共谋和 T-ESPIR 设置的结果。
• 证明共谋和窃听约束在其对容量的影响上是可交换的，即其联合效应仅取决于它们的并集。

提出的方法

• 形式化定义了具有任意共谋和窃听模式的 SPIR 问题，将联合模式 $ \tilde{\rho} $ 定义为共谋集和窃听集的并集。
• 引入线性规划公式以计算 $ F^* $，即在联合模式下有效独立数据库的数量。
• 应用标准的信息论反证技术，推导出公共随机性 $ H(S) $ 和下载开销 $ H(A_{[1:N]}^{[k]}) $ 的下界。
• 利用编码矩阵的 MDS 性质，确保对被动窃听者观察最多 $ E $ 个服务器的情况下的隐私性。
• 推导出比值 $ \rho = H(S)/H(W_k) $ 的下界，从而得到容量的上界 $ C \leq 1 - 1/F^* $。
• 证明容量恰好为 $ 1 - 1/F^* $，其中 $ F^* $ 是从联合模式导出的线性规划的最优解。

实验结果

研究问题

• RQ1 任意组合的共谋和窃听模式如何影响对称私有信息检索的容量？
• RQ2 共谋和窃听的联合影响能否通过容量公式中的单一有效参数来捕捉？
• RQ3 在相同的模式约束下，共谋对容量的影响是否与窃听等价？
• RQ4 SPIR 的容量是否仅取决于共谋和窃听集合的并集，而非其各自的结构？
• RQ5 能否通过统一的优化框架将标准 SPIR 的容量公式推广到任意模式？

主要发现

• 在任意共谋和窃听模式下，SPIR 的容量为 $ C = 1 - 1/F^* $，其中 $ F^* $ 是基于联合模式的线性规划的最优解。
• 联合模式（即所有共谋和窃听集合的并集）完全决定了容量，使得两种约束在影响上具有可交换性。
• 该结果推广了先前的容量公式：对于 $ T $-共谋 SPIR，$ F^* = N/T $；对于 $ E $-窃听 SPIR，$ F^* = N/E $；对于 $ T $-ESPIR，$ F^* = N/\max(T,E) $。
• 容量与消息数量 $ K $ 无关，与原始 SPIR 结果一致。
• 公共随机性下界 $ \rho \geq 1/(F^* - 1) $ 是紧的，证实了所推导容量的最优性。
• 证明技术通过将共谋和窃听集合统一纳入加权和形式的不等式框架，扩展了标准 SPIR 反证法。