[论文解读] The Carathéodory-Fejér Interpolation Problems and the von-Neumann Inequality

Rajeev Gupta|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2015

Holomorphic and Operator Theory参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文研究了交换 $3\times3$ 矩阵的冯·诺依曼不等式及其在多圆盘 $\mathbb{D}^n$ 上的 Carathéodory-Fejér 插值问题中的影响。通过基于 Korányi 和 Pukánzsky 定理的替代方法，为 $n=2$ 情况提供了插值的必要条件，并改进了 Varopoulos 对常数 $C_2(n)$ 的上界，表明 $\lim_{n\to\infty} C_2(n) \leq \frac{3\sqrt{3}}{4}K^\mathbb{C}_G$，且结果可推广至一般 $n$，但 $n>2$ 时的计算被省略。

ABSTRACT

The validity of the von-Neumann inequality for commuting $n$ - tuples of $3 imes 3$ matrices remains open for $n\geq 3$. We give a partial answer to this question, which is used to obtain a necessary condition for the Carathéodory-Fejér interpolation problem on the polydisc $\mathbb D^n.$ In the special case of $n=2$ (which follows from Ando's theorem as well), this necessary condition is made explicit. An alternative approach to the Carathéodory-Fejér interpolation problem, in the special case of $n=2,$ adapting a theorem of Korányi and Pukánzsky is given. As a consequence, a class of polynomials are isolated for which a complete solution to the Carathéodory-Fejér interpolation problem is easily obtained. A natural generalization of the Hankel operators on the Hardy space of $H^2(\mathbb T^2)$ then becomes apparent. Many of our results remain valid for any $n\in \mathbb N,$ however, the computations are somewhat cumbersome for $n>2$ and are omitted. The inequality $\lim_{n o \infty}C_2(n)\leq 2 K^\mathbb C_G$, where $K_G^\mathbb C$ is the complex Grothendieck constant and \[C_2(n)=\sup\big\{\|p(\boldsymbol T)\|:\|p\|_{\mathbb D^n,\infty}\leq 1, \|\boldsymbol T\|_{\infty} \leq 1 \big\}\] is due to Varopoulos. Here the supremum is taken over all complex polynomials $p$ in $n$ variables of degree at most $2$ and commuting $n$ - tuples $\boldsymbol T:=(T_1,\ldots,T_n)$ of contractions. We show that \[\lim_{n o \infty}C_2(n)\leq \frac{3\sqrt{3}}{4} K^\mathbb C_G\] obtaining a slight improvement in the inequality of Varopoulos. We show that the normed linear space $\ell^1(n),$ $n>1,$ has no isometric embedding into $k imes k$ complex matrices for any $k\in \mathbb N$ and discuss several infinite dimensional operator space structures on it.

研究动机与目标

• 解决交换 $n$-元组 $3\times3$ 矩阵的冯·诺依曼不等式这一开放问题，特别是针对 $n \geq 3$ 的情形。
• 利用冯·诺依曼不等式框架，推导多圆盘 $\mathbb{D}^n$ 上 Carathéodory-Fejér 插值问题的必要条件。
• 通过适配 Korányi 和 Pukánzsky 的定理，为 $n=2$ 情况提供一种替代解法，从而对一类多项式给出显式解。
• 推广 $H^2(\mathbb{T}^2)$ 上的 Hankel 算子，并将结果推广至任意 $n$，尽管由于复杂性，计算仅限于 $n=2$。
• 改进已知的 $\lim_{n\to\infty} C_2(n)$ 上界，表明 $\frac{3\sqrt{3}}{4}K^\mathbb{C}_G$ 是比 Varopoulos 结果更紧的估计。

提出的方法

• 利用冯·诺依曼不等式框架，分析 $\mathbb{C}^n$ 中交换压缩算子上多项式函数演算的有界性。
• 以 Ando 定理作为 $n=2$ 情况的参考，为替代推导奠定基础。
• 适配 Korányi 和 Pukánzsky 的一个结果，构建 $n=2$ 情况下 Carathéodory-Fejér 问题的替代解法路径。
• 通过该方法推导出一类多项式，其插值问题可获得完全解。
• 采用算子空间技术，研究 $\ell^1(n)$ 到矩阵代数的等距嵌入，表明当 $n>1$ 时不存在此类嵌入。
• 分析 $C_2(n)$ 的渐近行为，即在所有二次多项式与交换压缩算子上 $\|p(\boldsymbol{T})\|$ 的上确界，利用复格罗滕迪克常数 $K^\mathbb{C}_G$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于 $3\times3$ 矩阵的冯·诺依曼不等式，为多圆盘 $\mathbb{D}^n$ 上的 Carathéodory-Fejér 插值问题导出必要条件？
• RQ2 能否利用 Korányi 和 Pukánzsky 定理，为 $n=2$ 情况下的 Carathéodory-Fejér 问题构造一种替代解法？
• RQ3 在所提方法下，哪些二元多项式类的插值问题可获得完全解？
• RQ4 渐近常数 $\lim_{n\to\infty} C_2(n)$ 与 Varopoulos 的上界相比如何？是否可进一步改进？
• RQ5 当 $n>1$ 时，$\ell^1(n)$ 是否能等距嵌入到任意 $k\times k$ 复矩阵代数中？

主要发现

• 为多圆盘 $\mathbb{D}^n$ 上的 Carathéodory-Fejér 插值问题导出了必要条件，且在 $n=2$ 情况下给出了显式表达式。
• 通过 Korányi 和 Pukánzsky 定理的适配，为 $n=2$ 插值问题建立了替代解法，对一类特定多项式给出了完全解。
• 渐近常数 $\lim_{n\to\infty} C_2(n)$ 的上界被确定为 $\frac{3\sqrt{3}}{4}K^\mathbb{C}_G$，优于 Varopoulos 的先前结果。
• $n>1$ 时的范数线性空间 $\ell^1(n)$ 无法等距嵌入到任意 $k\times k$ 复矩阵中（$k\in\mathbb{N}$）。
• 分析中自然地推广了 $H^2(\mathbb{T}^2)$ 上的 Hankel 算子，原则上可推广至更高 $n$。
• 许多结果，包括对 $C_2(n)$ 的改进上界，均被证明对一般 $n$ 成立，尽管由于复杂性，详细计算仅限于 $n=2$。