[论文解读] The cardinality of the sublattice of closed ideals of operators between certain classical sequence spaces

Daniel Freeman, Thomas Schlumprecht+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2020

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文证明了在 $\varepsilon_p$, $\mathrm{c}_0$ 和 $\ell_p, \ell_\infty$ 上，闭算子理想格的基数为 $2^{2^\omega}$，显著扩展了此前仅证明 $2^\omega$ 的结果。作者构造了一个由 $\mathbb{N}$ 的几乎不相交子集索引的算子族，证明每个子集生成一个不同的闭理想，从而实现了理想格的最大可能基数。

ABSTRACT

Theorem A and Theorem B of [1] state that for $1

研究动机与目标

• 确定 $\mathcal{L}(\ell_p, \mathrm{c}_0)$, $\mathcal{L}(\ell_p, \ell_\infty)$ 和 $\mathcal{L}(\ell_1, \ell_p)$ 上闭算子理想格的精确基数，其中 $1 < p < \infty$。
• 将先前证明至少存在 $2^\omega$ 个闭理想的结论推广至最优上界 $2^{2^\omega}$。
• 构造一个算子族，使得不同的子集生成不同的闭理想，从而确保理想格的基数达到最大。
• 应用对偶性和嵌入技巧，将结果推广至相关空间，包括 $\mathrm{VMO}$ 和 $H_1$。

提出的方法

• 使用缩放的 RIP 矩阵，在有限维空间 $\ell_2^{u_n}$ 与 $\ell_\infty^{v_n}$ 之间构造一个一致有界的算子序列 $(T_n)$。
• 通过 $M \subset \mathbb{N}$ 中坐标的典范投影，在 $\ell_p$-直和 $\ell_2^{u_n}$ 与 $\mathrm{c}_0$-直和 $\ell_\infty^{v_n}$ 上定义全局算子 $T_M$。
• 利用如下性质：当 $M, N$ 为无限且几乎不相交时，若 $M \setminus N$ 无限，则 $T_M \notin \mathcal{J}^{T_N}(U,V)$，从而保证理想之间的分离。
• 应用泛函分析论证：构造一个泛函 $\Phi \in \mathcal{L}(U,V)^*$，满足 $\Phi(T_M) = 1$ 且 $\Phi|_{\mathcal{J}^{T_N}(U,V)} = 0$，从而推出 $\mathrm{dist}(T_M, \mathcal{J}^{T_N}) \geq 1$。
• 通过同构嵌入 $J: V \to W$ 将结果推广至包含 $\mathrm{c}_0$ 的一般 Banach 空间 $W$，保持距离估计，常数为 $c = \|J^{-1}\|^{-1}$。
• 利用 $\mathbb{N}$ 的 $2^\omega$ 个几乎不相交的无限子集族 $\mathcal{C}$，通过 $\mathcal{J}^{\mathcal{T}(\mathcal{A})}(U,W)$（其中 $\mathcal{A} \subset \mathcal{C}$）生成 $2^{2^\omega}$ 个不同的闭理想。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $1 < p < \infty$，$\mathcal{L}(\ell_p, \mathrm{c}_0)$ 上闭算子理想格的精确基数是多少？
• RQ2 能否对文献 [1] 中的算子构造进行改进，以生成 $2^{2^\omega}$ 个不同的闭理想？
• RQ3 由几乎不相交集合索引的算子是否具有分离性质，从而保证其生成的闭理想互不相同？
• RQ4 该结果在多大程度上可推广至其他经典序列空间及其算子理想？
• RQ5 $H_1$ 空间及其对偶空间 $\mathrm{VMO}$ 是否也具有 $2^{2^\omega}$ 个闭算子理想？

主要发现

• 对于 $1 < p < \infty$，$\mathcal{L}(\ell_p, \mathrm{c}_0)$ 上的闭理想格的基数恰好为 $2^{2^\omega}$。
• 在 $\mathcal{L}(\ell_p, \ell_\infty)$ 上，该基数同样为 $2^{2^\omega}$，因为此情形下 $V \cong \mathrm{c}_0$ 且 $U \sim \ell_p$。
• 对于 $\mathcal{L}(\ell_1, \ell_p)$，闭理想格的基数亦为 $2^{2^\omega}$，该结论通过对偶性论证得到确立。
• 由 $\mathbb{N}$ 的几乎不相交子集 $M \subset \mathbb{N}$ 索引的算子 $T_M$ 的构造，确保每个子集生成一个不同的闭理想。
• 距离估计 $\mathrm{dist}(J \circ T_M, \mathcal{J}^{T_N}(U,W)) \geq c$（当 $M \setminus N$ 无限且 $c = \|J^{-1}\|^{-1}$ 时）确认了理想之间的分离性。
• 该结果可推广至 $\mathcal{L}(\mathrm{VMO})$ 和 $\mathcal{L}(H_1)$，二者分别包含 $\mathrm{c}_0$ 和 $\ell_1$ 的互补子空间，因而也具有 $2^{2^\omega}$ 个闭算子理想。