[论文解读] The Casimir Energy in Curved Space and its Supersymmetric Counterpart

Benjamin Assel, Davide Cassani+4 more|Research Portal (King's College London)|Mar 18, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 4被引用 10

一句话总结

本文研究了在弯曲背景（特别是 $S^{d-1} \times \mathbb{R}$）上的共形场论（CFT）中的卡西米尔能量，表明在 $d=4$ 时，标准卡西米尔能量具有方案依赖性，不是内在的。然而，对于 $\mathcal{N}=1$ 超对称 CFT，一种超对称卡西米尔能量作为方案无关且内在的量出现，其值在标准三维球面上与 $a + 3c$ 成正比，该结果通过维数约化至超对称量子力学及全息检验得到确认。

ABSTRACT

We study $d$-dimensional Conformal Field Theories (CFTs) on the cylinder, $S^{d-1} imes \mathbb{R}$, and its deformations. In $d=2$ the Casimir energy (i.e. the vacuum energy) is universal and is related to the central charge $c$. In $d=4$ the vacuum energy depends on the regularization scheme and has no intrinsic value. We show that this property extends to infinitesimally deformed cylinders and support this conclusion with a holographic check. However, for $\mathcal{N}=1$ supersymmetric CFTs, a natural analog of the Casimir energy turns out to be scheme independent and thus intrinsic. We give two proofs of this result. We compute the Casimir energy for such theories by reducing to a problem in supersymmetric quantum mechanics. For the round cylinder the vacuum energy is proportional to $a+3c$. We also compute the dependence of the Casimir energy on the squashing parameter of the cylinder. Finally, we revisit the problem of supersymmetric regularization of the path integral on Hopf surfaces.

研究动机与目标

• 确定在 $S^{d-1} \times \mathbb{R}$ 上的卡西米尔能量是否为共形场论中内在的、方案无关的可观测量。
• 解决在 $d=4$ 时卡西米尔能量的模糊性问题，该问题源于由于存在多个无量纲反项而导致的正则化依赖性。
• 在 $\mathcal{N}=1$ CFT 中定义并计算一种超对称卡西米尔能量的类比，使其为方案无关且内在的。
• 通过维数约化至超对称量子力学及全息检验验证结果。
• 重新审视在霍普夫曲面上对路径积分进行超对称正则化的做法，使用一致的反项。

提出的方法

• 将卡西米尔能量定义为在 $S^{d-1} \times \mathbb{R}$ 上的真空能量 $E_0 = \int_{S^{d-1}} d^{d-1}x \sqrt{g} \langle T_{\tau\tau} \rangle$。
• 利用径向量化将 $\mathbb{R}^d$ 上的 CFT 映射到圆柱面，以实现对真空能量的分析。
• 通过将四维手征多重态维数约化至一维超对称量子力学系统，计算谱和能量。
• 采用两种正则化方案：两步正则化和使用光滑函数控制发散的截断正则化。
• 利用欧拉-麦克拉林公式展开对卡鲁扎-克莱因模态的正则化求和，提取有限部分和发散部分。
• 通过全息方法验证结果：将线性化全息卡西米尔能量与在形变圆柱面上的场论结果进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 4d CFT 的 $S^3 \times \mathbb{R}$ 上，卡西米尔能量是否为内在的、方案无关的可观测量？
• RQ2 能否定义一种超对称卡西米尔能量的类比，使其独立于正则化方案？
• RQ3 在标准 $S^3 \times \mathbb{R}$ 上，超对称卡西米尔能量的值是多少，它如何依赖于形变参数？
• RQ4 维数约化后的超对称量子力学和 $S^3 \times S^1$ 上的一圈决定因子如何对卡西米尔能量产生贡献？
• RQ5 能否构造一个一致的超对称反项，以消除霍普夫曲面上路径积分中的发散？

主要发现

• 在 $d=4$ 时，由于 $R^2$ 反项导致的方案依赖性，标准卡西米尔能量并非内在的，造成 $E_0 \propto a - b/2$ 的模糊性。
• 对于 $\mathcal{N}=1$ 超对称 CFT，超对称卡西米尔能量 $E_{\rm susy}$ 是方案无关且内在的，在标准三维球面上其值与 $a + 3c$ 成正比。
• 在形变的 $S^3 \times \mathbb{R}$ 上的超对称卡西米尔能量已被计算，并显示其依赖于形变参数，同时保持方案无关性。
• 该结果通过将四维手征多重态维数约化至一维超对称量子力学得到验证，其中哈密顿量谱决定了能量。
• 全息检验表明，卡西米尔能量对三维球面的微小形变具有线性响应，支持 $E_{\rm susy}$ 的方案无关性。
• 在截断正则化中出现的发散项可通过新极小超重力中的二维超对称反项被消除，与 $S^3 \times S^1$ 背景作用量一致。