[论文解读] The Cauchy Problem for Membranes

Olaf Milbredt|ArXiv.org|Jul 22, 2008

advanced mathematical theories参考文献 27被引用 11

一句话总结

本文建立了洛伦兹流形中类时极小子流形（膜/p-brane）柯西问题的短时间存在性与唯一性，该流形具有在初始数据附近的时函数。通过使用规范化的调和映射规范与拟线性双曲约化方法，证明了任意余维数的非紧致初始子流形以及与光锥任意接近的数据的存在性，且解的存在时间具有基于类时曲线长度的几何下界。

ABSTRACT

We show existence and uniqueness for timelike minimal submanifolds (world volume of p-branes) in ambient Lorentz manifolds admitting a time function in a neighborhood of the initial submanifold. The initial value formulation introduced and the conditions imposed on the initial data are given in purely geometric terms. Only an initial direction must be prescribed in order to provide uniqueness for the geometric problem. The result covers non-compact initial submanifolds of any codimension. By considering the angle of the initial direction and vector fields normal to the initial submanifold with the unit normal to the foliation given by the time function we obtain a quantitative description of "distance" to the light cone. This description makes it possible to treat initial data which are arbitrarily close to the light cone. Imposing uniform assumptions give a lower bound for a notion of "time of existence" depending only on geometric quantities involving the length of timelike curves lying in the solution.

研究动机与目标

• 解决洛伦兹时空中方程中膜（p-brane）作为类时极小子流形的初值问题。
• 为任意余维数的非紧致初始子流形建立存在性与唯一性。
• 处理与光锥任意接近的初始数据，克服以往因果结构假设的限制。
• 基于解中类时曲线的长度，推导出解存在时间的几何下界。
• 以纯粹几何语言表述问题与解，独立于坐标或规范选择。

提出的方法

• 通过从爱因斯坦方程技术中借鉴的调和映射规范，将膜方程（平均曲率为零）约化为拟线性双曲方程组。
• 在初始子流形邻域内使用时间函数，以定义几何叶状结构并控制因果结构。
• 通过指定初始数据（初始子流形 φ 与初始方向 ν）的参数化浸入构造局部解。
• 利用浸入类型（正则浸入、局部嵌入或局部有限交点）将局部解拼接，得到全局几何解。
• 通过唯一性论证，表明任意解均可重参数化为调和规范，从而利用微分同胚不变性与构造解进行比较。
• 利用初始方向 ν 与法向量场定义几何量‘到光锥的距离’，实现定量控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一般洛伦兹流形中，对于非紧致初始数据，能否建立膜方程的短时间存在性与唯一性？
• RQ2 如何在不依赖全局双曲性或紧致性假设的前提下，处理与光锥任意接近的初始数据？
• RQ3 何种几何量可提供解存在时间的下界？
• RQ4 能否完全以几何语言表述并求解初值问题，独立于参数化或规范选择？
• RQ5 即使初始数据未全局嵌入，解在初始子流形邻域内是否仍唯一？

主要发现

• 在存在时间函数邻近初始数据的洛伦兹流形中，对任意余维数的非紧致、正则浸入或局部嵌入的初始子流形，存在性与唯一性成立。
• 解的存在时间由仅依赖于解子流形中类时曲线长度的几何量提供下界。
• 即使初始数据与光锥任意接近（由初始方向与法向量场相对于时间函数叶状结构的夹角量化），解依然存在。
• 光滑初始数据产生光滑解，且解在初始子流形邻域内关于微分同胚唯一。
• 解与初始 lapse 和 shift 的选择无关，确认了几何问题的规范不变性。
• 该构造适用于任意环境维数与任意时空维数，包括非紧致的世界体积。