[论文解读] The Cauchy Problem for Non-Isentropic compressible Navier-Stokes/Allen-Cahn system with Degenerate Heat-Conductivity

Yazhou Chen, Qiaolin He+2 more|arXiv (Cornell University)|May 22, 2020

Navier-Stokes equation solutions参考文献 24被引用 8

一句话总结

该论文建立了具有退化热导率 $\kappa(\theta) = \tilde{\kappa}\theta^{\beta}$ 的一维非等熵可压缩 Navier-Stokes/Allen-Cahn 系统 Cauchy 问题的全局强解的存在性与唯一性。通过能量估计与 Sobolev 嵌入，证明了在有限时间内不会形成真空、激波或相界面不连续性，确保在一般初始 $H^1$ 与 $H^2$ 数据下实现无相分离的平滑相变。

ABSTRACT

The Cauchy problem for non-isentropic compressible Navier-Stokes/Allen-Cahn system with degenerate heat-conductivity $κ(θ)= ildeκθ^β$ in 1-d is discussed in this paper. This system is widely used to describe the motion of immiscible two-phase flow in numerical simulation. The wellposedness for strong solution of this problem is established with the $H^1$ initial data for density, temperature, velocity, and the $H^2$ initial data for phase field. The result shows that no discontinuity of the phase field, vacuum, shock wave, mass or heat concentration will be developed at any finite time in the whole space. From the hydrodynamic point of view, this means that no matter how complex the interaction between the hydrodynamic and phase-field effects, phase separation will not occur, but the phase transition is possible.

研究动机与目标

• 建立一维空间中具有退化热导率的非等熵可压缩 Navier-Stokes/Allen-Cahn 系统全局强解适定性的目标。
• 分析在一般初始数据下的解的长时间行为，特别是避免真空、激波或相界面不连续性的形成。
• 在温度依赖热导率的可压缩两相流背景下，严格证明相分离被禁止，尽管相变仍可能发生。

提出的方法

• 通过将理想多变质气体定律与 Allen-Cahn 自由能代入原始 Navier-Stokes/Allen-Cahn 方程，推导出简化系统。
• 施加退化热导率 $\kappa(\theta) = \tilde{\kappa}\theta^{\beta}$，其中 $\beta > 0$，以模拟高温流体中的温度依赖热传输。
• 应用能量估计与 Sobolev 嵌入定理，控制密度、速度、温度与相场的高阶导数。
• 利用 Gronwall 不等式与一致先验估计，将局部解延拓至全局时间。
• 采用最大值原理，将相场 $\phi$ 有界于 $[-1, 1]$ 之间，确保物理解释的一致性。
• 依赖于 $\rho, \mathbf{u}, \theta$ 的 $H^1$ 初始数据与 $\phi$ 的 $H^2$ 初始数据，以保证全局存在性所需的足够正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有退化热导率的一维非等熵可压缩 Navier-Stokes/Allen-Cahn 系统中，全局强解是否存在？
• RQ2 在一般初始数据下，该系统是否能防止真空、激波或相界面不连续性的形成？
• RQ3 即使存在强流体-相场耦合，该模型是否仍禁止相分离？
• RQ4 退化热导率 $\kappa(\theta) = \tilde{\kappa}\theta^{\beta}$ 如何影响解的正则性与长时间行为？
• RQ5 相场能否在 $[-1,1]$ 内保持有界，同时温度与速度保持一致有界？

主要发现

• 对于所有时间 $T > 0$，全局强解存在，初始数据满足密度、速度与温度属于 $H^1(\mathbb{R})$，相场属于 $H^2(\mathbb{R})$。
• 温度在上下文均一致有界，远离零，满足 $\sup_{(x,t) \in \mathbb{R} \times [0,T]} \theta \leq C$，确保无热奇点。
• 相场 $\phi$ 对所有时间满足 $-1 \leq \phi \leq 1$，防止出现非物理解的相值。
• 在任意有限时间内均未形成真空、激波或质量/热量集中，由 $\theta_x$、$\theta_t$ 与 $\theta_{xx}$ 的一致有界性所证明。
• $H^1$ 范数及其时间与空间导数在时间上一致有界，满足 $\sup_{0 \leq t \leq T} \int_{\mathbb{R}} \theta_x^2 dx + \int_0^T \int_{\mathbb{R}} (\theta_t^2 + \theta_{xx}^2) dx dt \leq C$。
• 系统禁止相分离，但允许平滑相变，由 $\phi$ 的有界性与相场中无不连续性得到证实。