[论文解读] The Cauchy problem on large time for surface waves type Boussinesq systems II

Jean‐Claude Saut, Chao Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2015

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 28被引用 6

一句话总结

该论文为两种此前未被研究的具有表面张力的强色散Boussinesq系统建立了长时间适定性，具体为 $ b = d = c = 0, a < 0 $ 和 $ a = b = d = 0, c < 0 $ 的情形。通过能量方法与对称化技术，证明了在 $ 1/\rho $ 量级的时间尺度上存在统一解，扩展了先前结果，并解决了表面波型Boussinesq系统柯西理论中的开放问题。

ABSTRACT

This paper is a continuation of a previous work by two of the Authors on long time existence for Boussinesq systems modeling the propagation of long, weakly nonlinear water waves. We provide proofs on examples not considered previously in particular we prove a long time well-posedness result for a delicate "strongly dispersive" Boussinesq system.

研究动机与目标

• 通过处理先前工作中未充分研究的情形，完成对表面波型Boussinesq系统长时间柯西理论的构建。
• 为 $ b = d = c = 0, a < 0 $ 和 $ a = b = d = 0, c < 0 $ 的‘强色散’系统建立在 $ O(1/\rho) $ 时间尺度上的统一适定性，这些情形在强表面张力下是可接受的。
• 将能量方法技术扩展至这些精细系统，其中标准对称化方法失效。
• 解决 $ b = d = 0, a < 0, c < 0 $ 情形下长时间存在性的开放问题，该情形虽线性不适定但具有数学重要性。
• 为未来研究完整色散系统及其可积性性质奠定基础。

提出的方法

• 将能量方法技术适配于Boussinesq系统的原始形式，避免在 $ a < 0, c = 0, b = d = 0 $ 情形下依赖对称化。
• 对线性化系统应用对称化技术，以在Sobolev空间 $ H^s $ 中导出能量估计，确保在 $ \rho $ 上的统一有界性。
• 利用完整色散Boussinesq系统 $ \boldsymbol{u}_t + \nabla \theta = 0 $ 的哈密顿结构，其中 $ \theta = \rho^{1/2} \tilde{\theta} $，以分析色散特性。
• 分析傅里叶乘子算子 $ \rho \tilde{\theta} $，表明其在短波极限下阶数为3，将系统归类为‘强色散’。
• 推导出在 $ \rho \to 0 $ 极限下的极限系统，1D情形下恢复Kaup系统（6.21），2D情形下恢复相关系统，二者已知为完全可积但线性不适定。
• 证明完整色散系统（6.19）是不适定Kaup系统（6.21）的适定正则化，同时保持关键动力学特性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为 $ b = d = c = 0, a < 0 $ 的强色散Boussinesq系统建立长时间适定性，该系统虽线性不适定但可在强表面张力下物理可接受？
• RQ2 系统 $ a = b = d = 0, c < 0 $ 的解的寿命为何？其是否存在统一的 $ O(1/\rho) $ 时间尺度上的存在性？
• RQ3 能量方法与对称化技术如何应用于负色散参数系统，其中经典对称化器失效？
• RQ4 完整色散Boussinesq系统（6.19）是否为Kaup系统（6.21）的适定正则化？其动力学意义为何？
• RQ5 当 $ \rho $ 固定且 $ \rho \to 0 $ 时，Boussinesq系统柯西理论能否在具有表面张力的系统中实现统一扩展？

主要发现

• 论文通过基本能量方法为 $ b = d = c = 0, a < 0 $ 系统建立了长时间适定性，证明了解的存在时间尺度为 $ T_\rho = O(1/\rho) $。
• 对于 $ a = b = d = 0, c < 0 $ 系统，论文证明了在Sobolev空间 $ H^s(\rho) $（$ s > 3/2 $）中存在统一解，寿命为 $ T_\rho = O(1/\rho) $，解决了此前开放的问题。
• 完整色散Boussinesq系统（6.19）被证明是线性不适定Kaup系统（6.21）的适定正则化，且具有相同的长波极限。
• 系统（6.19）继承了哈密顿结构 $ J $ 与 $ H_\rho $，其色散算子 $ \rho \tilde{\theta} $ 阶数为3，确认其被归类为强色散。
• 在 $ \rho \to 0 $ 极限下，系统在1D情形下退化为Kaup系统，在2D情形下退化为相关系统，二者均为完全可积但经典意义下不适定。
• 结果可推广至底部缓慢变化的系统，且当 $ \rho $ 固定且 $ \rho \to 0 $ 时理论保持统一，证实了长时间存在性框架的鲁棒性。