[论文解读] The Central Limit Theorem for uniformly strong mixing measures

Nicolai Haydn|ArXiv.org|Mar 7, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 14被引用 3

一句话总结

该论文在计数无限划分的均匀强混合系统中，于最小正则性假设下，建立了信息函数 $ I_n(x) = -\log\mu(A_n(x)) $ 的中心极限定理（CLT）和对数正态分布。当信息函数的四阶矩有限时，证明了收敛的多项式速率，将Ibragimov的结果从有限划分推广至无限划分，并消除了对Gibbs性质或条件熵正则性条件的需求。

ABSTRACT

The theorem of Shannon-McMillan-Breiman states that for every generating partition on an ergodic system, the exponential decay rate of the measure of cylinder sets equals the metric entropy almost everywhere (provided the entropy is finite). In this paper we prove that the measure of cylinder sets are lognormally distributed for strongly mixing systems and infinite partitions and show that the rate of convergence is polynomial provided the fourth moment of the information function is finite. Also, unlike previous results by Ibragimov and others which only apply to finite partitions, here we do not require any regularity of the conditional entropy function. We also obtain the law of the iterated logarithm and the weak invariance principle for the information function.

研究动机与目标

• 将Ibragimov针对信息函数的CLT推广至具有可数无限划分的系统，此前结果依赖于有限划分和条件熵的正则性。
• 消除先前关于信息函数CLT研究中对Gibbs性质或Radon-Nikodym导数正则性条件的依赖。
• 在信息函数四阶矩有限的假设下，建立 $ I_n(x) $ 对数正态分布的多项式收敛速率。
• 在均匀强混合系统中，证明信息函数的重对数律（LIL）和弱不变性原理。
• 为一般均匀强混合测度（包括无限字母表上的马尔可夫链）提供一个无需依赖Gibbs型表征的通用框架。

提出的方法

• 利用耦合论证，将信息函数 $ I_n(x) $ 在时间区间上分解为独立增量，借助强混合性质控制依赖性。
• 采用截断技术，设定阈值 $ \ell \sim n^\alpha $，$ \alpha < 1/2 $，以控制尾部概率并确保分布收敛。
• 使用混合率 $ \psi(\Delta) $ 控制分离块之间的依赖性，其中 $ \psi(\Delta) $ 呈多项式或指数衰减。
• 在乘积空间上引入一个随机变量 $ Y $ 以量化块之间的依赖性，从而控制信息增量和的方差。
• 利用 $ L^2 $-范数条件和相关性的指数衰减，控制信息函数的方差，尤其在马尔可夫链情形下。
• 应用几乎必然不变性原理和功能中心极限定理技术，推导出归一化信息过程弱收敛于标准布朗运动。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有可数无限划分的均匀强混合系统中，信息函数 $ I_n(x) = -\log\mu(A_n(x)) $ 是否在分布上收敛于对数正态分布？
• RQ2 当信息函数的四阶矩有限时，其收敛至对数正态分布的速率是否可量化为多项式？
• RQ3 在不依赖Gibbs性质或条件熵函数正则性的情况下，信息函数的中心极限定理是否依然成立？
• RQ4 在该一般设定下，是否可建立信息函数的重对数律和弱不变性原理？
• RQ5 对于无限字母表上的马尔可夫链，$ I_n(x) $ 的渐近方差为何？其是否收敛于有限极限？

主要发现

• 在具有可数无限划分的均匀强混合系统中，信息函数 $ I_n(x) $ 即使在无有限划分或正则性假设下，也渐近服从对数正态分布。
• 当信息函数的四阶矩有限时，其收敛至对数正态分布的速率为多项式，具体为 $ \mathcal{O}(n^{-\kappa}) $，其中 $ \kappa > 0 $。
• 在相同条件下，重对数律成立，确认了波动的几乎必然增长速率。
• 弱不变性原理成立：归一化过程 $ X_n(t,x) = (I_{[nt]}(x) - \mathbb{E}[I_{[nt]}]) / \sigma\sqrt{n} $ 弱收敛于标准布朗运动。
• 对于无限字母表上的马尔可夫链，渐近方差 $ \sigma^2 $ 由涉及转移概率对数比值相关性的收敛无穷级数给出。
• 马尔可夫链的方差表达式包含来自转移概率对数比值平方的主项，以及来自长程相关性的校正项，两者均因指数混合而收敛。