[论文解读] The central nature of the Hidden Subgroup problem

Stephen Fenner, Yong Zhang|ArXiv.org|Oct 13, 2006

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文证明了量子计算中的若干核心问题——隐藏陪集、隐藏轨道、隐藏移位和广义隐藏移位——在包括非阿贝尔群和置换群在内的广泛群类上，均可多项式时间归约至隐藏子群问题（HSP）。关键贡献在于证明：仅需在置换群或光滑阶的二面体群上求解HSP，即可解决这些相关问题，并构建了HSP判定与搜索版本的非自适应程序校验器。

ABSTRACT

We show that several problems that figure prominently in quantum computing, including Hidden Coset, Hidden Shift, and Orbit Coset, are equivalent or reducible to Hidden Subgroup for a large variety of groups. We also show that, over permutation groups, the decision version and search version of Hidden Subgroup are polynomial-time equivalent. For Hidden Subgroup over dihedral groups, such an equivalence can be obtained if the order of the group is smooth. Finally, we give nonadaptive program checkers for Hidden Subgroup and its decision version.

研究动机与目标

• 统一并阐明隐藏陪集、隐藏轨道、隐藏移位和广义隐藏移位等主要量子计算问题之间的关系。
• 证明这些问题是多项式时间可归约至广义有限群上的隐藏子群问题（HSP），包括非阿贝尔群和置换群。
• 建立在置换群及光滑阶二面体群上，HSP的判定版本与搜索版本之间的多项式时间等价性。
• 为置换群上的HSP判定与搜索版本设计非自适应程序校验器，以高概率确保正确性。

提出的方法

• 通过构造群同态，利用半直积构造将隐藏陪集实例嵌入更大的HSP实例，从而将隐藏陪集归约至HSP。
• 使用半直积 $ G \wr \mathbb{Z}_2 $ 将隐藏移位与广义隐藏移位问题嵌入非阿贝尔群上的HSP实例。
• 应用定理3.1，将隐藏移位与隐藏陪集实例转换为 $ G \wr \mathbb{Z}_2 $ 上的等价HSP实例，保持子群结构不变。
• 采用非自适应查询策略，通过生成随机置换并在多个独立查询中测试一致性，验证HSP程序的正确性。
• 利用量子函数与陪集表示的结构，无需自适应反馈即可模拟与验证HSP解。
• 利用所构造的 $ G \wr \mathbb{Z}_2 $ 实例中隐藏子群为原子群的提升版本这一事实，实现对原问题解的恢复。

实验结果

研究问题

• RQ1 隐藏陪集、隐藏轨道、隐藏移位与广义隐藏移位问题是否可在一般有限群上多项式时间归约至隐藏子群问题？
• RQ2 能否证明在置换群及光滑阶二面体群上，HSP的判定版本与搜索版本具有多项式时间等价性？
• RQ3 是否可为HSP及其判定版本构造非自适应程序校验器，使其以有界误差验证正确性？
• RQ4 能否将广义隐藏移位在半直积群上的HSP嵌入过程逆向，以恢复原始实例，从而表明GHSh是HSP的特例？
• RQ5 从相关问题到HSP的归约是否保持群的复杂性（如将可解群映射至可解群），以实现对问题难度的更精细分类？

主要发现

• 隐藏陪集在任意有限群上与隐藏子群问题多项式时间等价，包括非阿贝尔群。
• 当HSP公式中允许使用量子函数时，隐藏轨道问题与隐藏子群问题等价。
• 隐藏移位与广义隐藏移位问题可归约至半直积群 $ G \wr \mathbb{Z}_2 $ 上的HSP，当函数数量较小时，该归约可在多项式时间内完成。
• 在置换群上，以及在光滑阶的二面体群上，HSP的判定版本与搜索版本具有多项式时间等价性。
• HSP及其判定版本的非自适应程序校验器存在，且运行时间在多项式时间内，正确性概率至少为 $ 1 - 2^{-k} $（$ k $ 次查询）。
• HSP判定版本的校验器若程序正确则输出 CORRECT，若程序错误则以至少 $ 1 - 2^{-k} $ 的概率输出 BUGGY，从而确保高可靠性。