[论文解读] The Cerny conjecture and 1-contracting automata

Henk Don|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2015

semigroups and automata theory参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文引入了非周期性1-收缩自动机——即DFAs中每个(n−1)个状态的子集均可通过1-缺陷字可达，且所诱导的状态映射构成循环置换。该文证明此类自动机是同步的，并满足Černý猜想，所有k-子集均可通过长度至多为n(n−k)的字可达，从而证实了该类自动机的猜想，包括某些循环自动机和广义循环自动机。

ABSTRACT

A deterministic finite automaton is synchronizing if there exists a word that sends all states of the automaton to the same state. Černý conjectured in 1964 that a synchronizing automaton with $n$ states has a synchronizing word of length at most $(n-1)^2$. We introduce the notion of aperiodically $1-$contracting automata and prove that in these automata all subsets of the state set are reachable, so that in particular they are synchronizing. Furthermore, we give a sufficient condition under which the Černý conjecture holds for aperiodically $1-$contracting automata. As a special case, we prove some results for circular automata.

研究动机与目标

• 建立一类新的自动机——非周期性1-收缩自动机，以保证同步性。
• 证明对于此类自动机，所有k-子集的状态均可通过长度至多为n(n−k)的字可达，从而支持Černý猜想。
• 将Černý猜想的有效性扩展至更广泛的自动机类，包括循环自动机和广义循环自动机。
• 为通过1-缺陷字集合识别同步字提供一种构造性框架。
• 探讨该框架中的条件在多大程度上可被弱化，同时保持可达性和同步性的核心结论。

提出的方法

• 将1-收缩自动机定义为：每个(n−1)个状态的子集均可通过1-缺陷字可达，即映射全状态集至大小为n−1的子集的字。
• 引入由1-缺陷字集合W诱导的状态映射σW，将每个被排除的状态映射到其唯一的收缩状态。
• 将非周期性1-收缩自动机定义为：其σW在状态集上构成循环置换的自动机。
• 证明非周期性1-收缩自动机是同步的，且所有非空状态子集均可达。
• 证明：若高效1-收缩集合中的1-缺陷字长度至多为n，则Černý猜想成立，且k-子集可在至多n(n−k)步内可达。
• 利用幂自动机框架分析可达性，并通过连接1-缺陷字实现同步。

实验结果

研究问题

• RQ1 1-缺陷字诱导的循环状态映射是否存在，是否能保证自动机是同步的？
• RQ2 对于所有(n−1)子集均可通过1-缺陷字可达且状态映射为循环的自动机，是否可证明Černý猜想？
• RQ3 1-收缩自动机的条件在多大程度上可被弱化，同时仍保持可达性和同步性？
• RQ4 k-子集的可达性界限n(n−k)是否可普遍适用于所有同步自动机？
• RQ5 是否存在一种构造性算法，仅使用1-缺陷字生成非周期性1-收缩自动机中的同步字？

主要发现

• 非周期性1-收缩自动机是同步的，因为循环状态映射确保重复应用1-缺陷字可导致单状态。
• 此类自动机中所有k-子集的状态均可通过长度至多为n(n−k)的字可达，这意味着Černý猜想对该类自动机成立。
• 对于具有高效1-收缩集合且1-缺陷字长度至多为n的自动机，最短同步字长度至多为(n−1)²，从而证实了Černý猜想。
• 该类自动机包括循环自动机和具有多个标签的循环自动机，将已知结果扩展至更广泛的家族。
• 提供了一个非循环自动机（无全状态环）的例子，其仍因非周期性1-收缩结构而满足Černý猜想。
• 本文猜想：在任意同步自动机中，所有k-子集均可通过长度至多为n(n−k)的字可达，这将意味着Černý猜想在一般情况下成立。