[论文解读] The change of variable formula for the Riemann integral

Alberto Torchinsky|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2019

Functional Equations Stability Results参考文献 6被引用 5

一句话总结

本文提供了黎曼积分变量替换公式的自包含、初等证明，仅使用黎曼积分的基本性质。它证明了：对于有界且黎曼可积的函数 $φ$ 在 $[a,b]$ 上，其不定积分记为 $Φ$，以及在 $Φ([a,b])$ 上有界的函数 $f$，$f$ 在 $Φ([a,b])$ 上黎曼可积当且仅当 $f(\Phi)\varphi$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积，此时有 $\int_{\mathcal{I}} f = \int_{I} f(\Phi)\varphi$，其中 $\mathcal{I} = [\Phi(a), \Phi(b)]$。该结果通过 Preiss 和 Uher 的黎曼-司蒂尔杰斯积分推广形式，推广了 Kestelman 的变量替换定理。

ABSTRACT

This note concerns the general formulation by Preiss and Uher of Kestelman's influential result pertaining the change of variable, or substitution, formula for the Riemann integral.

研究动机与目标

• 提供黎曼积分变量替换公式的自包含、初等证明，避免使用高级测度论工具。
• 通过 Preiss 和 Uher 对黎曼-司蒂尔杰斯积分的推广框架，将 Kestelman 的变量替换结果进行推广。
• 建立 $f$ 在像区间 $\mathcal{I} = \Phi([a,b])$ 上黎曼可积的必要与充分条件，该条件以 $f(\Phi)\varphi$ 在 $[a,b]$ 上的可积性为依据。
• 证明即使 $\varphi$ 无界，只要 $f(\Phi)\varphi$ 保持在 $[a,b]$ 上黎曼可积，标准变量替换公式依然成立。

提出的方法

• 使用连续且单调递增函数 $\Phi$ 的黎曼-司蒂尔杰斯积分框架，定义关于 $\Phi$ 的上和与下和。
• 采用黎曼-司蒂尔杰斯可积性的实用判别准则：$f$ 关于 $\Phi$ 可积当且仅当对任意 $\varepsilon > 0$，存在一个分划 $\mathcal{P}$，使得 $U(f,\Phi,\mathcal{P}) - L(f,\Phi,\mathcal{P}) \leq \varepsilon$。
• 应用基于振荡的判别准则：$f$ 关于 $\Phi$ 黎曼-司蒂尔杰斯可积当且仅当存在某个分划 $\mathcal{P}$，使得 $\sum_k \text{osc}(f, I_k) \cdot (\Phi(x_{k,r}) - \Phi(x_{k,l})) \leq \varepsilon$。
• 通过 $\Phi$ 将 $[a,b]$ 的分划提升为 $\mathcal{I} = \Phi([a,b])$ 的分划 $\mathcal{Q}'$，并利用对 $f$、$\varphi$ 的有界性以及 $\Phi$ 的变差的控制，来控制 $\mathcal{Q}'$ 上的振荡和。
• 使用中值定理将 $[a,b]$ 中的区间与其在 $\mathcal{I}$ 中的像联系起来，表明 $f(\Phi)\varphi$ 在 $[a,b]$ 上的黎曼和对应于 $f$ 在 $\mathcal{I}$ 上的黎曼和。
• 通过证明像分划上的振荡和可任意小，从而建立关键等式 $\int_{\mathcal{I}} f = \int_{I} f(\Phi)\varphi$，这表明可积性成立且黎曼和收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $\Phi$ 是有界黎曼可积函数 $\varphi$ 的不定积分时，函数 $f$ 在像区间 $\mathcal{I} = \Phi([a,b])$ 上黎曼可积的条件是什么？
• RQ2 $f(\Phi)\varphi$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积的条件是什么？
• RQ3 在变量替换 $x \mapsto \Phi(x)$ 下，黎曼积分 $\int_{\mathcal{I}} f$ 与 $\int_{I} f(\Phi)\varphi$ 之间的精确关系是什么？
• RQ4 是否可以在不假设 $\varphi$ 有界或 $\Phi$ 是 $C^1$ 的前提下，仅依靠黎曼积分理论建立变量替换公式？
• RQ5 如何利用基于振荡的判别准则，在变量替换的背景下证明可积性与黎曼和的收敛性？

主要发现

• $f$ 在 $\mathcal{I} = [\Phi(a), \Phi(b)]$ 上黎曼可积当且仅当 $f(\Phi)\varphi$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积。
• 当两个积分均存在时，变量替换公式成立：$\int_{\mathcal{I}} f = \int_{I} f(\Phi)\varphi$。
• 该证明仅依赖于黎曼积分的基本性质，包括上和与下和、振荡判别准则，不涉及测度论或勒贝格积分。
• 通过细化分划，可使振荡和 $\sum_k \text{osc}(f, \mathcal{I}_k) \cdot |\mathcal{I}_k|$ 任意小，从而确保 $f$ 在 $\mathcal{I}$ 上的可积性。
• 该结果可推广至 $\varphi$ 无界的情形，只要 $f(\Phi)\varphi$ 在 $[a,b]$ 上保持黎曼可积。
• 给出一个例子：在 $[0,1]$ 上令 $\Phi(x) = x^{1-\varepsilon}$，$\varphi(x) = (1-\varepsilon)x^{-\varepsilon}$，当 $f$ 在 0 附近为 $x^\beta$ 且 $\beta \geq \varepsilon/(1-\varepsilon)$ 时，变量替换成立。