[论文解读] The Chaos of Propagation in a Retrial Supermarket Model

Quan‐Lin Li, Meng Wang+2 more|arXiv (Cornell University)|May 22, 2011

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 43被引用 3

一句话总结

本文提出了一种具有 N 个相同服务器的重传超市模型，采用两个探测服务器选择数动态路由主请求和重传请求，并通过算子半群方法建立了其均场极限。主要贡献在于推导出一组广义 M/M/1 重传尾部方程的非线性方程组，支持通过不动点计算进行性能分析，并通过数值计算验证了在不同到达率和重传率下队列长度行为的准确性。

ABSTRACT

When decomposing the total orbit into $N$ sub-orbits (or simply orbits) related to each of $N$ servers and through comparing the numbers of customers in these orbits, we introduce a retrial supermarket model of $N$ identical servers, where two probing-server choice numbers are respectively designed for dynamically allocating each primary arrival and each retrial arrival into these orbits when the chosen servers are all busy. Note that the designed purpose of the two choice numbers can effectively improve performance measures of this retrial supermarket model. This paper analyzes a simple and basic retrial supermarket model of N identical servers, that is, Poisson arrivals, exponential service and retrial times. To this end, we first provide a detailed probability computation to set up an infinite-dimensional system of differential equations (or mean-field equations) satisfied by the expected fraction vector. Then, as N goes to infinity, we apply the operator semigroup to obtaining the mean-field limit (or chaos of propagation) for the sequence of Markov processes which express the state of this retrial supermarket model. Specifically, some simple and basic conditions for the mean-field limit as well as for the Lipschitz condition are established through the first two moments of the queue length in any orbit. Finally, we show that the fixed point satisfies a system of nonlinear equations which is an interesting networking generalization of the tail equations given in the M/M/1 retrial queue, and also use the fixed point to give performance analysis of this retrial supermarket model through numerical computation.

研究动机与目标

• 建立一个大规模重传超市系统模型，包含泊松到达、指数服务时间和重传时间，并实现动态负载均衡。
• 为描述系统状态的马尔可夫过程序列在 N → ∞ 时建立严格的均场极限。
• 推导并求解一组广义 M/M/1 重传尾部方程的非线性方程组，以支持性能评估。
• 通过在不同到达率和重传率下对期望队列长度的数值计算验证模型。
• 展示均场方法在分析重传排队网络方面的有效性，该领域此前研究较为有限。

提出的方法

• 基于五种建模情形下的详细概率计算，构建了无限维的均场微分方程系统。
• 应用算子半群理论，证明了均场极限的存在性与唯一性，确保了极限下传播的混沌性。
• 利用任意轨道中队列长度的一阶与二阶矩建立利普希茨条件，以保证收敛性。
• 推导出一组广义 M/M/1 重传队列尾部方程的非线性不动点方程组。
• 采用数值方法（包括 MATLAB）求解不动点方程以进行性能评估。
• 在 M=50 处截断，由于队列概率序列 π_{I,k} 和 π_{W,k} 的超指数衰减，可实现对稳态客户数的高精度近似。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构建具有双选择路由的重传超市模型以改善负载均衡与性能？
• RQ2 在具有 N 个相同服务器的重传排队系统中，何种条件可确保均场极限的存在性与唯一性？
• RQ3 队列长度的一阶与二阶矩如何用于建立收敛性的利普希茨条件？
• RQ4 该不动点系统在何种意义上广义化了 M/M/1 重传队列的尾部方程？
• RQ5 在模型预测下，变化的到达率与重传率如何影响系统中客户的期望数量？

主要发现

• 通过算子半群方法以及基于队列长度一阶与二阶矩导出的利普希茨条件，严格建立了均场极限。
• 不动点满足一组广义 M/M/1 重传队列尾部方程的非线性方程组，为性能分析提供了基础。
• 数值结果表明，对于所有 d₁, d₂，期望队列长度 E[Q] 随泊松到达率 λ 增大而增加，但随 d₁ 和 d₂ 增大而迅速减小。
• E[Q] 随重传率 θ 增大而显著减小，且这种减小效应在 d₁ 和 d₂ 较高时更为明显。
• 在 M=50 处截断可因 π_{I,k} 与 π_{W,k} 序列的超指数衰减而实现 E[Q] 的高精度近似。
• 所提出的均场方法在大规模重传超市模型中有效且适用，具有扩展至非泊松、非指数及更复杂系统的能力。