[论文解读] The characteristic gluing problem for the Einstein equations and applications

Stefanos Aretakis, Stefan Czimek+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2021

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 33被引用 4

一句话总结

本文提出了一种用于爱因斯坦真空方程的共形余维数10的特征粘合构造，利用在 null 无穷远处的守恒规范不变电荷，将渐近平坦的初始数据粘合至克尔时空数据。该方法在过渡区域中未造成衰减损失，并为 Corvino–Schoen 与 Carlotto–Schoen 的时空粘合定理提供了替代证明，解决了关于衰减保持的一个开放问题。

ABSTRACT

In this paper we introduce the characteristic gluing problem for the Einstein vacuum equations. We present a codimension-$10$ gluing construction for characteristic initial data which are close to the Minkowski data and we show that the $10$-dimensional obstruction space consists of gauge-invariant charges which are conserved by the linearized null constraint equations. By relating these $10$ charges to the ADM energy, linear momentum, angular momentum and the center-of-mass we prove that asymptotically flat data can be characteristically glued (including the $10$ charges) to the data of a suitably chosen Kerr spacetime, obtaining as a corollary an alternative proof of the Corvino--Schoen spacelike gluing construction. Moreover, we derive a localized version of our construction where the given data restricted on an angular sector is characteristically glued to the Minkowski data restricted on another angular sector. As a corollary we obtain an alternative proof of the Carlotto-Schoen localized spacelike gluing construction. Our method yields no loss of decay in the transition region, resolving an open problem. We also discuss a number of other applications.

研究动机与目标

• 制定并求解爱因斯坦真空方程在 null 无穷远邻域的特征粘合问题。
• 识别出10维障碍空间，其由线性化 null 约束方程所守恒的规范不变电荷构成。
• 证明渐近平坦的初始数据可被特征粘合至克尔数据，同时保持 ADM 能量、动量、角动量和质心。
• 开发一种局域化粘合构造，其中在某一角度区域上的数据被粘合至另一区域的闵可夫斯基数据，同时保持衰减性质。
• 提出一种新的、保持衰减的粘合方法，解决了局域时空粘合中的一个开放问题。

提出的方法

• 作者使用双 null 叶层框架分析双分叉 null 超曲面上的 null 结构方程和 Ricci 系数。
• 他们从闵可夫斯基时空处的线性化约束方程中识别出守恒电荷（E, P, L, G），分别对应于 ADM 能量、动量、角动量和质心。
• 通过球面数据和微分同胚构造扰动方案，以求解具有指定电荷的线性化粘合问题。
• 在一系列球面上采用递归迭代方案，以控制扰动及其相关电荷的衰减。
• 该方法结合了一个局域化引理，通过控制过渡区域而无衰减损失，实现角度区域上的粘合。
• 在高正则性下应用特征初值问题的适定性，将构造出的数据传播至具有受控衰减的时空超曲面。

实验结果

研究问题

• RQ1 在爱因斯坦真空方程的特征粘合问题中，障碍空间的余维数是多少？
• RQ2 null 无穷远处的守恒电荷如何与 ADM 量（如能量、动量和角动量）相关联？
• RQ3 能否在保持全部10个守恒电荷的前提下，将渐近平坦的初始数据特征粘合至克尔数据？
• RQ4 是否可能在角度区域上实现局域化粘合，而不会在过渡区域损失衰减？
• RQ5 该特征粘合方法能否为 Corvino–Schoen 与 Carlotto–Schoen 的时空粘合定理提供替代证明？

主要发现

• 特征粘合问题具有余维数10的障碍空间，对应于 null 无穷远处的10个守恒规范不变电荷（E, P, L, G）。
• 这10个电荷在几何上被解释为 ADM 能量、线性动量、角动量和质心，从而可精确匹配至克尔数据。
• 该构造在过渡区域中未造成衰减损失，解决了局域粘合中长期存在的一个开放问题。
• 该方法通过粘合至克尔时空，为 Corvino–Schoen 时空粘合定理提供了替代证明。
• 构建了一种子局域化粘合版本，其中在某一角度区域上的数据被粘合至另一区域的闵可夫斯基数据，且在所有尺度上均保持衰减。
• 在大环形区域上诱导出的时空初始数据在尺度不变范数下与原始数据保持 O((1+2c)^{-n} R^{-1}) 的接近性，确认了渐近平坦性及能量-动量的控制。