[论文解读] The Chebyshev method for the implied volatility

Kathrin Glau, Paul Herold+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用 7

一句话总结

本文提出了一种双变量切比雪夫多项式插值方法，用于在所有相关期权平价程度和波动率水平下实现快速、精确且闭式近似的隐含波动率。该方法实现次指数级误差衰减，仅需低阶多项式即可达到机器精度，且在大规模实时应用中，其速度和鲁棒性优于迭代方法和现有非迭代方法。

ABSTRACT

The implied volatility is a crucial element of any financial toolbox, since it is used for quoting and the hedging of options as well as for model calibration. In contrast to the Black-Scholes formula its inverse, the implied volatility, is not explicitly available and numerical approximation is required. We propose a bivariate interpolation of the implied volatility surface based on Chebyshev polynomials. This yields a closed-form approximation of the implied volatility, which is easy to implement and to maintain. We prove a subexponential error decay. This allows us to obtain an accuracy close to machine precision with polynomials of a low degree. We compare the performance of the method in terms of runtime and accuracy to the most common reference methods. In contrast to existing interpolation methods, the proposed method is able to compute the implied volatility for all relevant option data. In this context, numerical experiments confirm a considerable increase in efficiency, especially for large data sets.

研究动机与目标

• 开发一种快速、精确且稳健的方法，用于计算所有相关期权数据的隐含波动率，包括深度实值、虚值期权以及极端波动率情形。
• 通过提供一种非迭代、闭式近似方法，克服迭代方法的局限性，如收敛缓慢和对初始猜测值的敏感性。
• 实现大规模实时数据集（如高频交易和模型校准中使用的数据集）的隐含波动率高性能实时计算。
• 确保该方法易于实现、维护，并支持导数计算，以适用于基于梯度的优化。
• 通过适配插值框架，将该方法的适用性扩展至非布莱克-斯科尔斯模型，如拉普拉斯模型。

提出的方法

• 该方法在覆盖所有相关平价程度与剩余到期时间组合的区域内，使用双变量切比雪夫多项式插值，确保对期权数据的全局覆盖。
• 采用区域分割与缩放函数，以处理极端参数区域，提升插值精度与收敛性。
• 近似形式为归一化看涨期权价格与平价程度的切比雪夫基函数乘积之和，支持闭式求值与导数计算。
• 使用预先计算的离线插值算子，实现快速在线求值，最大限度减少运行时开销。
• 为保证精度，该方法利用切比雪夫插值的次指数误差衰减特性，即使使用低阶多项式也能实现高精度。
• 该方法在布莱克-斯科尔斯模型和拉普拉斯模型上均经过验证，插值节点处使用Brent-Dekker方法计算参考隐含波动率。

实验结果

研究问题

• RQ1 非迭代、闭式方法是否能在整个隐含波动率曲面（包括极端平价程度和波动率水平）上实现高精度与高效率？
• RQ2 切比雪夫插值的误差行为如何随多项式阶数变化？能否在低阶多项式下实现机器精度？
• RQ3 与Jäckel（2015）的先进迭代求解器相比，该方法在大规模数据集上的运行时间与鲁棒性是否显著更优？
• RQ4 该近似方法的多项式结构在多大程度上支持高效导数计算，以支持优化与对冲应用？
• RQ5 该方法能否推广并适配至非布莱克-斯科尔斯模型（如拉普拉斯模型），并保持相似的性能与精度？

主要发现

• 在拉普拉斯模型中，切比雪夫方法的误差随多项式阶数增加呈指数级衰减，在2D切比雪夫网格上当N=50时，误差低于10^-11。
• 该方法在所有期权类型中均保持高精度，包括深度实值和远虚值期权，而这些类型对许多现有方法而言极具挑战。
• 在常见区域D₁中，切比雪夫方法的精度显著优于其他非迭代近似方法，且运行时间相当或更优。
• 与Jäckel（2015）的迭代方法相比，切比雪夫方法通过预先指定目标精度并避免迭代，显著降低了运行时间。
• 闭式多项式结构支持高效导数计算，无需重新求值隐含波动率，从而支持基于梯度的优化。
• 该方法具有高度可调适性：通过调整区域分割与缩放函数，可针对更小、特定的数据区域进行定制，进一步提升效率。