[论文解读] The Cheeger Constant, Isoperimetric Problems, and Hyperbolic Surfaces

Brian Benson|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 21被引用 10

一句话总结

本文利用等周理论与几何分类，建立了在有限面积双曲曲面上存在且正则的Cheeger极小化子（即实现Cheeger常数的子集）的条件。论文提出了一种算法，可基于拓扑与几何数据计算Cheeger常数，并将其应用于检验Selberg特征值猜想，通过定量Buser不等式与已知上界的一致性，验证了结果的合理性。

ABSTRACT

We give a brief literature review of the isoperimetric problem and discuss its relationship with the Cheeger constant of Riemannian $n$-manifolds. For some non-compact, finite area 2-manifolds, we prove the existence and regularity of subsets whose isoperimetric ratio is equal to the Cheeger constant. To do this, we use results of Hass-Morgan for the isoperimetric problem of these manifolds. We also give an example of a finite area 2-manifold where no such subset exists. Using work of Adams-Morgan, we classify all such subsets of geometrically finite hyperbolic surfaces where such subsets always exist. From this, we provide an algorithm for finding these sets given information about the topology, length spectrum, and distances between the simple closed geodesics of the surface. Finding such a subset allows one to directly compute the Cheeger constant of the surface. As an application of this work suggested by Agol, we give a test for Selberg's eigenvalue conjecture. We do this by comparing a quantitative improvement of Buser's inequality resulting from works of both Agol and the author to an upper bound on the Cheeger constant of these surfaces, the latter given by Brooks-Zuk. As expected, our test does not contradict Selberg's conjecture.

研究动机与目标

• 建立非紧致、有限面积黎曼2-流形上实现Cheeger常数的子集存在的充分条件及其正则性条件。
• 利用Adams与Morgan关于等周问题的研究成果，对几何有限双曲曲面上的Cheeger极小化子进行几何分类。
• 基于长度谱与测地线距离等拓扑与几何不变量，开发一种计算此类曲面Cheeger常数的算法。
• 通过将定量Buser不等式的改进与Cheeger常数的已知上界进行比较，将理论应用于检验Selberg特征值猜想。
• 在假设Selberg猜想成立的前提下，验证理论下界与Brooks与Zuk所得已知上界之间的一致性。

提出的方法

• 利用Cheeger序列边界一致有界的性质，证明在有限面积曲面上存在二维Cheeger极小化子。
• 应用Hass与Morgan关于非紧致有限面积曲面上等周问题的研究成果，确立极小化子的正则性，即其为常曲率的嵌入多曲线。
• 借助Adams与Morgan对几何有限双曲曲面上等周解的完整分类，识别出'优质Cheeger候选'——具有特定几何形式的候选极小化子。
• 采用由Agol对Buser不等式所做的定量改进所导出的Sturm-Liouville特征值形式，将Cheeger常数与谱数据关联。
• 使用SLEIGN2数值求解器，通过在假设特征值函数单调的前提下求解相关常微分方程的初值问题，计算Cheeger常数的下界。
• 构建一种算法，输入简单闭测地线之间的长度谱与两两距离，以识别并计算Cheeger极小化子。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，有限面积、非紧致的黎曼2-流形会存在Cheeger极小化子？
• RQ2 几何有限双曲曲面上Cheeger极小化子的完整分类是什么？
• RQ3 能否基于其几何与拓扑不变量，算法化地计算几何有限双曲曲面的Cheeger常数？
• RQ4 对Buser不等式的定量改进如何与Cheeger常数的已知上界相互作用，以检验Selberg特征值猜想？
• RQ5 是否存在一个与Selberg猜想一致的、关于双曲平面模子群商曲面的Cheeger常数的下界？

主要发现

• 对于存在Cheeger序列且其边界一致有界的有限面积曲面，存在二维Cheeger极小化子，且其边界为常曲率的嵌入多曲线。
• 在几何有限双曲曲面上，总存在长度为正的一维Cheeger极小化子，且其为分类中定义的'优质Cheeger候选'的边界。
• 几何有限双曲曲面的Cheeger常数可基于长度谱与简单闭测地线之间距离，通过算法计算得出。
• 在假设Selberg猜想成立的前提下，$ S_k = \tilde{\rho}_k \backslash \mathbb{H}^2 $ 的Cheeger常数下界超过 $ 0.205436\ldots $，与Brooks-Zuk的上界 $ 0.4402 $ 一致。
• 利用Kim与Sarnak的下界 $ \lambda_1 \geq 975/4096 $，本文计算出 $ h(S_k) > 0.198727\ldots $，与已知上界一致。
• 分析结果表明，当将Buser不等式的定量改进应用于具有Cheeger极小化子的曲面时，所得结果与Selberg猜想相容。