[论文解读] The Choquet-Deny theorem and distal properties of totally disconnected locally compact groups of polynomial growth

Wojciech Jaworski, Raja, C. R. E.|ArXiv.org|Feb 14, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 30被引用 17

一句话总结

本文建立了紧生成的完全不连通局部紧群中Choquet-Deny定理有效性的等价刻画，这些群具有多项式增长，且属于广义$̅{FC}$-群。研究证明，该定理成立当且仅当内自同构作用为远端，这等价于收缩子群平凡以及SIN性质，从而将调和分析与群的结构及动力系统联系起来。

ABSTRACT

We obtain sufficient and necessary conditions for the Choquet-Deny theorem to hold in the class of compactly generated totally disconnected locally compact groups of polynomial growth, and in a larger class of totally disconnected generalized $\ov{FC}$-groups. The following conditions turn out to be equivalent when $G$ is a metrizable compactly generated totally disconnected locally compact group of polynomial growth: (i) the Choquet-Deny theorem holds for $G$; (ii) the group of inner automorphisms of $G$ acts distally on $G$; (iii) every inner automorphism of $G$ is distal; (iv) the contraction subgroup of every inner automorphism of $G$ is trivial; (v) $G$ is a SIN group. We also show that for every probability measure $μ$ on a totally disconnected compactly generated locally compact second countable group of polynomial growth, the Poisson boundary is a homogeneous space of $G$, and that it is a compact homogeneous space when the support of $μ$ generates $G$.

研究动机与目标

• 确定Choquet-Deny定理在紧生成的完全不连通局部紧群中多项式增长的必要与充分条件。
• 将分析扩展至更广义的完全不连通广义$̅{FC}$-群类。
• 刻画此类群上随机游走的Poisson边界结构。
• 阐明非交换情形下远端群作用、收缩子群与调和函数理论之间的关系。

提出的方法

• 分析内自同构在群上的作用，并通过轨道闭包不包含单位元来定义远端性。
• 引入元素$ g $的收缩子群$ C(g) $，定义为$ \{ x \in G \mid \lim_{n \to \infty} g^n x g^{-n} = e \} $，并研究其平凡性。
• 利用远端内自同构与平凡收缩子群之间的等价性，推导出群的结构性条件。
• 应用来自拓扑动力系统与调和分析的结果，特别是Poisson边界与$ \mu $-边界理论。
• 利用如下事实：对于度量的、紧生成的、完全不连通的、多项式增长的群，$ \operatorname{Inn}(G) $ 的远端性蕴含群为SIN群。
• 将Poisson边界构造为齐性空间$ G/H $，尤其当$ \mu $ 的支撑生成$ G $ 时。

实验结果

研究问题

• RQ1 在紧生成的完全不连通局部紧群中多项式增长时，Choquet-Deny定理在何种条件下成立？
• RQ2 远端群作用与此类群中收缩子群结构之间的确切关系为何？
• RQ3 在何种条件下，此类群上随机游走的Poisson边界是紧致齐性空间？
• RQ4 内自同构的性质（远端性、平凡收缩子群）与这些群中的SIN性质之间有何关系？
• RQ5 当$ \mu $ 为适应测度且其支撑生成$ G $ 时，能否显式将$ \mu $-边界实现为齐性空间？

主要发现

• 对于度量的、紧生成的、完全不连通的、局部紧的多项式增长群$ G $，Choquet-Deny定理成立当且仅当内自同构群$ \operatorname{Inn}(G) $ 在$ G $ 上远端作用。
• 在这些群中，以下五个条件等价：(i) Choquet-Deny定理成立；(ii) $ \operatorname{Inn}(G) $ 远端作用；(iii) 每个内自同构均为远端；(iv) 每个$ g \in G $ 的收缩子群平凡；(v) $ G $ 为SIN群。
• 对于此类群上的每个概率测度$ \mu $，Poisson边界是$ G $ 的齐性空间，且当$ \mu $ 适应且其支撑生成$ G $ 时，该边界为紧致。
• $ \mu $-边界可实现为$ \mathbb{Z}_2^{\mathbb{Z}} / T $，其中$ T $ 是闭的$ \tau $-不变子群，对于群$ G = \mathbb{Z}_2^{\mathbb{Z}} \rtimes_\tau \mathbb{Z} $，$ \tau $ 为平移自同构。
• 在群$ \mathbb{Z}_2^{\mathbb{Z}} \rtimes_\tau \mathbb{Z} $ 的情形下，Choquet-Deny定理不成立，因为$ \operatorname{Inn}(G) $ 在正规子群$ \mathbb{Z}_2^{\mathbb{Z}} \times \{0\} $ 上不远端作用，因为$ C(\tau) $ 非平凡。
• 存在适应测度$ \mu_T $，使得$ \mu_T $-边界同构于$ \mathbb{Z}_2^{\mathbb{Z}} / T $，对每个闭的$ \tau $-不变子群$ T $，且这些边界作为$ G $-空间彼此不构同。