[论文解读] The Chow Ring of the Moduli Space of Abelian Threefolds

G.B.M. van der Geer|UvA-DARE (University of Amsterdam)|Feb 7, 1997

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用 32

一句话总结

本文通过使用在水平覆盖上的等变类并对比 $\overline{\mathcal{M}}_3$ 的查环，确定了主极化阿贝尔三倍模空间的德拉农伊-沃罗诺伊紧化 $\tilde{\mathcal{A}}_3$ 的查环结构。查环被证明是一个 $\mathbb{Q}$-代数，由四个类 $\lambda_1$、$\lambda_3$ 和 $\sigma_1$ 生成，且满足明确的关系式，包括 $\lambda_1^4 - 8\lambda_3\lambda_1 = 0$、$\lambda_1^2\sigma_1 = 0$、$\sigma_1^3 = 2016\lambda_3$ 以及 $\lambda_3\sigma_1 = 0$。这为 $\tilde{\mathcal{A}}_3$ 的典型查环提供了完整的描述。

ABSTRACT

In this paper we determine the structure of the Chow ring of the Delaunay-Voronoi compactification $ ilde{\cal A}_3$ of the moduli space of principally polarized abelian threefolds. This compactification was introduced by Namikawa and studied by Tsushima. We use equivariant classes on level coverings of $ ilde{\cal A}_3$. We also compare this ring with the Chow ring of the moduli space of stable genus 3 curves as determined by Faber.

研究动机与目标

• 确定主极化阿贝尔三倍模空间的德拉农伊-沃罗诺伊紧化 $\tilde{\mathcal{A}}_3$ 的查环结构。
• 利用 $\tilde{\mathcal{A}}_3$ 的水平覆盖上的等变类来限制查群的秩并计算交点数。
• 通过2度的托里基映射对比 $\tilde{\mathcal{A}}_3$ 与已知的 $\overline{\mathcal{M}}_3$ 的查环，后者由法伯确定。
• 建立 $\tilde{\mathcal{A}}_3$ 的典型查环的完整表述，作为具有明确生成元与关系式的 $\mathbb{Q}$-代数。

提出的方法

• 利用 $Sp(6,\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z})$ 的作用，通过水平 $l$ 覆盖 $\mathcal{A}_3[\ell]$ 上的等变查类来分析 $\tilde{\mathcal{A}}_3$ 的查环结构。
• 应用2度的托里基映射 $t: \overline{\mathcal{M}}_3 \to \tilde{\mathcal{A}}_3$，以关联 $\overline{\mathcal{M}}_3$ 与 $\tilde{\mathcal{A}}_3$ 的查环。
• 利用 $\overline{\mathcal{M}}_3$ 中已知的关系式，计算从 $CH^3(\overline{\mathcal{M}}_3)$ 到 $CH^3(\tilde{\mathcal{A}}_3)$ 的上推 $t_*$。
• 利用霍奇丛的特征类 $\lambda_i$ 与边界分量类 $\sigma_i$ 来定义典型环的结构。
• 通过精确序列与独立于多面体分解的典范部分紧化 $\tilde{\mathcal{A}}_3^{(1)}$ 进行比较，实现查群秩的有界性。
• 通过交点理论检验验证关系式，包括恒等式 $504\lambda_3 = 2\lambda_1\sigma_2 + t_*([(c)]_Q) + 2B_3$。

实验结果

研究问题

• RQ1 主极化阿贝尔三倍模空间的德拉农伊-沃罗诺伊紧化 $\tilde{\mathcal{A}}_3$ 的查环结构是什么？
• RQ2 典型类 $\lambda_1$、$\lambda_3$ 与 $\sigma_1$ 如何生成 $\tilde{\mathcal{A}}_3$ 的查环，它们满足哪些关系？
• RQ3 在多大程度上可以通过托里基映射与已知的 $\overline{\mathcal{M}}_3$ 查环来描述 $\tilde{\mathcal{A}}_3$ 的查环？
• RQ4 是否存在形式为 $\sigma_1^g = \zeta(1-2g)\lambda_g + \text{在 } \tilde{\mathcal{A}}_g^{t \geq 2} \text{ 上的类}$ 的典型关系，如在上同调中所见？

主要发现

• 查环 $\tilde{\mathcal{A}}_3$ 是由 $\lambda_1$、$\lambda_3$ 与 $\sigma_1$ 生成的 $\mathbb{Q}$-代数，其中 $\sigma_1$ 是秩1退化情形的边界除子 $D$ 的类。
• 查环满足如下关系：$\lambda_1^4 - 8\lambda_3\lambda_1 = 0$、$\lambda_1^2\sigma_1 = 0$、$\sigma_1^3 = 2016\lambda_3$ 以及 $\lambda_3\sigma_1 = 0$，这些关系完全确定了其结构。
• 通过托里基映射 $t$ 从 $\overline{\mathcal{M}}_3$ 推出的典型类被显式计算，例如 $t_*(\delta_{00}) = 2[0,0,0,1]$、$t_*(\xi_0) = 2[0,4,-1,1]$ 与 $t_*(\eta_1) = 6[\tilde{A}_{2,1}]$ 等。
• 关系式 $504\lambda_3 = 2\lambda_1\sigma_2 + t_*([(c)]_Q) + 2B_3$ 得到验证，确认其与法伯在 $CH^*(\overline{\mathcal{M}}_3)$ 中的关系一致。
• $\tilde{\mathcal{A}}_3$ 的查环同构于 $\mathbb{Q}[\lambda_1, \lambda_3, \sigma_1]/(\lambda_1^4 - 8\lambda_3\lambda_1, \lambda_1^2\sigma_1, \sigma_1^3 - 2016\lambda_3, \lambda_3\sigma_1)$，提供了完整的表述。
• 典范部分紧化 $\tilde{\mathcal{A}}_3^{(1)}$ 被用作基础工具，因其独立于多面体分解，且包含关键的边界除子 $D$。