[论文解读] The Chromatic Number of Random Regular Graphs

Dimitris Achlioptas, Cristopher Moore|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2004

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 8被引用 8

一句话总结

本文确定了所有 d ≥ 3 的随机 d-正则图的色数，其值在三个可能值之内，即以高概率为 k、k+1 或 k+2，其中 k 是满足 d < 2k log k 的最小整数。关键结果基于对平衡着色的二阶矩方法，将稀疏随机图（G(n,p)）的先前研究扩展至正则图情形，并通过鞅不等式获得紧致的集中性界。

ABSTRACT

Given any integer d &gt;= 3, let k be the smallest integer such that d &lt; 2k log k. We prove that with high probability the chromatic number of a random d-regular graph is k, k+1, or k+2, and that if (2k-1) \log k &lt; d &lt; 2k \log k then the chromatic number is either k+1 or k+2.

研究动机与目标

• 确定随机 d-正则图可能色数的精确范围。
• 将稀疏随机图（G(n,p)）的结果扩展至更受约束的正则图模型（G_{n,d}）。
• 利用概率方法建立色数的二点与三点集中性。
• 对所有 d ≥ 3 精确确定色数至三个值以内，且对约一半的 d 值获得更紧的界。

提出的方法

• 使用配置模型处理随机 d-正则多重图 C_{n,d}，其在高概率下为简单图。
• 应用基于鞅的集中不等式，证明无法用 k 种颜色着色的顶点数具有紧密集中性。
• 对平衡 k-着色数使用二阶矩方法，以建立 k-可着色性的正概率。
• 依赖着色约束系统的松弛，并利用拉格朗日乘数法来界定着色数的二阶矩。
• 通过将其与已知界存在的 G(n,m) 模型关联，推导出二阶矩的上界。
• 利用函数 g_{G(n,m)} 的最大值出现在均匀着色分布处的性质，推导出最终的界。

实验结果

研究问题

• RQ1 随机 d-正则图的色数是多少，其集中性有多紧？
• RQ2 能否将二阶矩方法适配于正则图情形，以证明 k-可着色性的正概率，如同在稀疏 G(n,p) 情形中一样？
• RQ3 对于哪些 d 值，G_{n,d} 的色数以高概率恰好为 k+1？
• RQ4 当 d 略低于 2k log k 时，色数的行为如何？

主要发现

• 对所有 d ≥ 3，随机 d-正则图的色数以高概率为 k、k+1 或 k+2，其中 k 是满足 d < 2k log k 的最小整数。
• 当 d ∈ (u_k, c_k)，其中 u_k = (2k-1)log k 且 c_k = 2k log k 时，色数以高概率为 k+1 或 k+2。
• 当 d ∈ (c_{k-1}, u_k) 时，色数以高概率为 k、k+1 或 k+2，且通过第一 moment 论证可排除 (k-1)-可着色性。
• 该界是紧致的：当 d = 1,000,000 时，色数以高概率为 46,523 或 46,524。
• 二阶矩方法得到的平衡 k-着色数的二阶矩界，与 G(n,m) 情形相比仅差一个常数因子。
• 本文猜想：在随机正则图中存在 k-可着色性的尖锐阈值，若 Moore 关于 g_{G(n,m)} 的猜想成立，则‘坏’区间将收缩至零测度。