[论文解读] The classification of $p$-divisible groups over 2-adic discrete valuation rings

Wausu Kim|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文通过使用 $f$-模在 $frobenius}$ 上的 $f$-模，证明了关于 2-进离散赋值环上 $p$-可除群和 $p$-幂阶有限平坦群概形的布雷乌尔猜想，建立了与晶状迪厄多内理论和伽罗瓦表示相容的范畴的精确反等价。该结果在不假设群概形连通性的前提下，将基辛理论推广至 $p=2$ 的情形，为算术几何和群概形的模空间提供了基础工具。

ABSTRACT

Let $\mathscr{O}_K$ be a 2-adic discrete valuation ring with perfect residue field $k$. We classify $p$-divisible groups and $p$-power order finite flat group schemes over $\mathscr{O}_K$ in terms of certain Frobenius module over $\mathfrak{S}:=W(k)[[u]]$. We also show the compatibility with crystalline Dieudonné theory and associated Galois representations. Our approach differs from Lau's generalization of display theory, and we additionally obtain the the compatibility with associated Galois representations.

研究动机与目标

• 证明关于具有完美剩余域的 2-进离散赋值环上 $p$-可除群和有限平坦群概形分类的布雷乌尔猜想。
• 在这些群概形与 $frobenius}$ 上的某些 $f$-模之间建立范畴的精确反等价。
• 证明该分类与晶状迪厄多内理论以及相关伽罗瓦表示的相容性。
• 在不需对群概形作连通性假设的前提下，将基辛理论推广至 $p=2$ 的情形。
• 为构造典型阿贝尔型希默拉簇的积分模型和有限平坦群概形的模空间提供框架。

提出的方法

• 使用基辛理论和配备有 Frobenius 自同态 $frobenius}$ 的环 $frobenius}$，其中 $frobenius}(u) = u^p$。
• 构造从 $f$-模到 $zp}$-模并带有 $frobenius}$-作用的反变函子 $T^*_{frobenius}}$。
• 定义范畴 $frobenius}}(frobenius})^{≤slant 1}$ 和 $(frobenius}/frobenius})^{≤slant 1}$，以参数化 $p$-可除群和有限平坦群概形。
• 通过模 $u$ 约化并比较特殊纤维的迪厄多内模，证明分类函子的精确性。
• 使用平展 $frobenius}$-模和 $frobenius}}$-基变换来分析一般纤维的行为并证明映射的满射性。
• 应用普遍性质和概形理论的像来证明：$frobenius}}$-模映射的满射性蕴含群概形映射为闭浸入。

实验结果

研究问题

• RQ1 布雷乌尔关于 2-进离散赋值环上 $p$-可除群和有限平坦群概形分类的猜想是否在不假设连通性的情况下成立？
• RQ2 该分类在 $p=2$ 情形下是否能与晶状迪厄多内理论和伽罗瓦表示相容？
• RQ3 将 $frobenius}}$-模 $frobenius}}$ 赋给 $p$-可除群 $G$ 的函子，在限制到 $frobenius}}$-表示时是否精确且完全忠实？
• RQ4 $frobenius}}$-模在 Frobenius 作用下的结构如何反映 $frobenius}}$ 上的群概形结构？
• RQ5 群概形序列的精确性是否能通过相应的 $frobenius}}$-模序列来检测？

主要发现

• 本文在 $frobenius}}$ 上的 $p$-可除群与范畴 $frobenius}}(frobenius})^{≤slant 1}$ 之间建立了精确反等价，从而证明了 $p=2$ 情形下的布雷乌尔猜想。
• 一个 $p$-可除群 $G$ 的反变迪厄多内晶体 $dotc}dotc}(G)$ 可从其关联的 $frobenius}}$-模 $frobenius}}$ 恢复。
• 存在一个自然的 $frobenius}}$-等变同构 $T_p(G) \cong T^*_{frobenius}}(frobenius}})$，确保与伽罗瓦表示的相容性。
• 对于有限平坦群概形 $H$，$frobenius}}$-模 $frobenius}}$ 恢复 $dotc}dotc}(H)$，且满足 $H(\overline{K}) \cong T^*_{frobenius}}(frobenius}})$ 作为 $frobenius}}$-模。
• 群概形序列的精确性等价于相应 $frobenius}}$-模序列的精确性，关键步骤依赖于 $frobenius}}$-基变换和平展 $frobenius}$-模理论。
• 若 $frobenius}}$-模映射 $frobenius}} \twoheadrightarrow \u0066robenius}}'$ 满射，则对应的群概形映射为闭浸入，从而证明了精确性准则的逆命题。