[论文解读] The Clifford Algebra Approach to Quantum Mechanics B: The Dirac Particle and its relation to the Bohm Approach

B. J. Hiley, R. E. Callaghan|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2010

Quantum Mechanics and Applications参考文献 29被引用 23

一句话总结

本文首次使用克利福德代数形式体系，为狄拉克粒子构建了完整的相对论性德布罗意-玻姆诠释，推导出能量-动量密度、量子势和自旋演化的确切表达式，完全不依赖于波函数或希尔伯特空间。结果表明，玻姆诠释可被完全相对论化，其非相对论极限可恢复已知的泡利和薛定谔粒子的结果。

ABSTRACT

In this paper we present for the first time a complete description of the Bohm model of the Dirac particle. This result demonstrates again that the common perception that it is not possible to construct a fully relativistic version of the Bohm approach is incorrect. We obtain the fully relativistic version by using an approach based on Clifford algebras outlined in two earlier papers by Hiley and by Hiley and Callaghan. The relativistic model is different from the one originally proposed by Bohm and Hiley and by Doran and Lasenby. We obtain exact expressions for the Bohm energy-momentum density, a relativistic quantum Hamilton-Jacobi for the conservation of energy which includes an expression for the quantum potential and a relativistic time development equation for the spin vectors of the particle. We then show that these reduce to the corresponding non-relativistic expressions for the Pauli particle which have already been derived by Bohm, Schiller and Tiomno and in more general form by Hiley and Callaghan. In contrast to the original presentations, there is no need to appeal to classical mechanics at any stage of the development of the formalism. All the results for the Dirac, Pauli and Schroedinger cases are shown to emerge respectively from the hierarchy of Clifford algebras C(13),C(30), C(01) taken over the reals as Hestenes has already argued. Thus quantum mechanics is emerging from one mathematical structure with no need to appeal to an external Hilbert space with wave functions.

研究动机与目标

• 开发狄拉克粒子的完全相对论性德布罗意-玻姆诠释，克服普遍认为此类形式化不可能的观念。
• 证明玻姆诠释可从克利福德代数严格推导，无需依赖希尔伯特空间或波函数。
• 为狄拉克粒子推导出相对论性量子势、能量-动量密度和自旋演化方程的精确表达式。
• 证明这些表达式的非相对论极限可重现玻姆、舒勒和蒂奥姆诺对泡利粒子的已知结果。
• 阐明狄拉克流与玻姆能量-动量流之间的区别，揭示在相对论域中存在两组不同的粒子轨迹。

提出的方法

• 基于实数上的克利福德代数 $\mathcal{C}_{1,3}$ 的形式体系，将狄拉克方程用几何代数元素表示。
• 使用极小左理想表示量子态，避免对希尔伯特空间或波函数的依赖。
• 从克利福德代数结构推导出相对论性量子哈密顿-雅可比方程，包含源自代数结构的量子势。
• 通过动量双曲量与流的缩并构造玻姆能量-动量密度，确保能量-动量守恒。
• 通过量子力矩方程推导出自旋演化方程，展示自旋动力学如何从代数结构中自然涌现。
• 通过最小耦合将形式体系扩展至外场，以规范协变导数替代偏导数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖波函数或希尔伯特空间的前提下，为狄拉克粒子构建完全相对论性的德布罗意-玻姆模型？
• RQ2 在相对论 regime 中，量子势和能量-动量密度如何从克利福德代数结构中涌现？
• RQ3 玻姆框架中自旋演化方程的相对论推广是什么？其在低速极限下如何还原为非相对论形式？
• RQ4 为何狄拉克流与玻姆能量-动量流在相对论域中产生不同的粒子轨迹？
• RQ5 克利福德代数方法如何在单一几何代数框架下统一薛定谔、泡利和狄拉克理论？

主要发现

• 本文首次使用克利福德代数为狄拉克粒子推导出玻姆能量-动量密度的精确表达式，证明其满足能量-动量守恒。
• 获得一个完全相对论性的量子哈密顿-雅可比方程，其中显式包含源自代数结构的相对论性量子势。
• 自旋矢量的时间演化由一个相对论性量子力矩方程控制，其在低速极限下还原为已知的非相对论形式。
• 该形式体系表明，狄拉克流与玻姆能量-动量流是不同的，导致在相对论区域中产生两组不同的粒子轨迹。
• 所推导的量子势和自旋动力学表达式的非相对论极限，精确重现了玻姆、舒勒和蒂奥姆诺对泡利粒子的结果。
• 整个框架源自克利福德代数的层级结构 $\mathcal{C}_{1,3}$、$\mathcal{C}_{3,0}$ 和 $\mathcal{C}_{0,1}$，表明量子力学可内在地在几何代数中表述，而无需外部希尔伯特空间。