[论文解读] The Clifford group fails gracefully to be a unitary 4-design

Huangjun Zhu, Richard Kueng+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2016

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 62被引用 53

一句话总结

本文证明了多量子比特 Clifford 群不是酉 4-设计，但其失败方式是优美的：与完整酉群相比，其第四次张量幂仅多出一个不变子空间——对应于一个稳定子码。这使得 Clifford 轨道几乎能复现真实 4-设计在关键量子信息任务中的性能，并可由此显式构造出精确或近似的 4-设计，且有强烈证据表明它们甚至可能构成 5-设计。

ABSTRACT

A unitary t-design is a set of unitaries that is "evenly distributed" in the sense that the average of any t-th order polynomial over the design equals the average over the entire unitary group. In various fields -- e.g. quantum information theory -- one frequently encounters constructions that rely on matrices drawn uniformly at random from the unitary group. Often, it suffices to sample these matrices from a unitary t-design, for sufficiently high t. This results in more explicit, derandomized constructions. The most prominent unitary t-design considered in quantum information is the multi-qubit Clifford group. It is known to be a unitary 3-design, but, unfortunately, not a 4-design. Here, we give a simple, explicit characterization of the way in which the Clifford group fails to constitute a 4-design. Our results show that for various applications in quantum information theory and in the theory of convex signal recovery, Clifford orbits perform almost as well as those of true 4-designs. Technically, it turns out that in a precise sense, the 4th tensor power of the Clifford group affords only one more invariant subspace than the 4th tensor power of the unitary group. That additional subspace is a stabilizer code -- a structure extensively studied in the field of quantum error correction codes. The action of the Clifford group on this stabilizer code can be decomposed explicitly into previously known irreps of the discrete symplectic group. We give various constructions of exact complex projective 4-designs or approximate 4-designs of arbitrarily high precision from Clifford orbits. Building on results from coding theory, we give strong evidence suggesting that these orbits actually constitute complex projective 5-designs.

研究动机与目标

• 精确刻画 Clifford 群为何不是酉 4-设计。
• 证明 Clifford 轨道在量子信息应用中仍能近乎等同于真实 4-设计的表现。
• 从 Clifford 群轨道构造精确或近似复射影 4-设计。
• 基于编码理论的联系，探究 Clifford 轨道是否能构成 5-设计。

提出的方法

• 分析 Clifford 群的第四次张量幂，识别其相对于酉群的不变子空间。
• 将额外的不变子空间识别为稳定子码，并显式分解为离散辛群的不可约表示。
• 利用调和多项式理论与迹映射，将 Clifford 轨道的矩与哈尓测度的矩关联起来。
• 利用量子纠错码的结果，构造出最多五量子比特的精确 4-设计的基准态向量。
• 开发算法，利用 MUB 循环器与调和不变量，从 Clifford 轨道生成近似 4-设计。
• 应用多元多项式技术分析不变量，并推导复射影空间中 t-设计的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 Clifford 群的第四次张量幂与完整酉群的第四次张量幂之间，其精确结构差异是什么？
• RQ2 Clifford 群轨道在实际量子信息任务中，对真实酉 4-设计的近似程度如何？
• RQ3 能否从 Clifford 群轨道构造出精确的复射影 4-设计？若能，具体方法为何？
• RQ4 Clifford 群轨道是否表现出更高阶设计结构（如 5-设计）的特性？有何证据支持？
• RQ5 稳定子码结构在 Clifford 群无法构成 4-设计中的作用是什么？

主要发现

• Clifford 群的第四次张量幂比酉群多出且仅多出一个不变子空间，该子空间为一个稳定子码。
• 该额外的稳定子码被显式分解为离散辛群的不可约表示。
• 利用基准态向量，可从 Clifford 轨道构造出最多五量子比特的精确复射影 4-设计。
• 随机 Clifford 轨道可作为 4-设计的优秀近似，在相位恢复与量子态可区分性任务中，其性能几乎等同于真实 4-设计。
• 有强有力的证据（基于编码理论构造）表明，Clifford 轨道实际上可能构成复射影 5-设计。
• Clifford 群无法构成 4-设计的失败是‘优雅’的，因为其偏离结构简单且清晰可理解，从而使其在去随机化量子协议中具有实际应用价值。