[论文解读] The clocks they are adjunctions:Denotational semantics for Clocked Type Theory

Bassel Mannaa, Rasmus Ejlers Møgelberg|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2018

Logic, programming, and type systems被引用 4

一句话总结

本文通过使用伴随函子和语义代换对时钟类型理论（CloTT）中的tick进行建模，提出了其指称语义，从而支持共归纳推理。该工作将先前基于时间范畴上的预层的守卫递归模型扩展至支持上下文中的tick假设，为未来扩展（如守卫立方体类型理论中的路径类型）提供了语义基础。

ABSTRACT

Clocked Type Theory (CloTT) is a type theory for guarded recursion useful for programming with coinductive types, allowing productivity to be encoded in types, and for reasoning about advanced programming language features using an abstract form of step-indexing. CloTT has previously been shown to enjoy a number of syntactic properties including strong normalisation, canonicity and decidability of type checking. In this paper we present a denotational semantics for CloTT useful, e.g., for studying future extensions of CloTT with constructions such as path types. The main challenge for constructing this model is to model the notion of ticks used in CloTT for coinductive reasoning about coinductive types. We build on a category previously used to model guarded recursion, but in this category there is no object of ticks, so tick-assumptions in a context can not be modelled using standard tools. Instead we show how ticks can be modelled using adjoint functors, and how to model the tick constant using a semantic substitution.

研究动机与目标

• 为Clocked Type Theory (CloTT) 提供一种指称语义，通过tick支持共归纳推理。
• 解决在标准模型中缺乏对应对象的tick假设（如 α:κ）在上下文中的建模挑战。
• 将基于时间范畴上预层的现有守卫递归模型扩展，通过伴随函子引入tick。
• 为CloTT的未来扩展（如守卫立方体类型理论中的路径类型）提供语义推理基础。
• 通过延迟函子的左伴随形式化tick处理，确保一致性与组合性代换。

提出的方法

• 使用范畴家族模型上下文，其中tick扩展 Γ, α:κ 被解释为 L^κ⟦Γ⟧，通过延迟函子 R^κ 的左伴随 L^κ 实现。
• 在预层范畴上的自函子之间使用伴随关系 L^κ ⊣ R^κ 来建模tick与延迟模态。
• 将tick常量解释为从 L^κ 到恒等函子的自然变换，捕捉tick允许访问延迟值的概念。
• 构建一个带有伴随关系和满足一致性条件的自然变换的范畴家族模型，以表示tick演算。
• 通过验证语义代换在上下文扩展下与项解释的可交换性，证明代换与类型推导的正确性。
• 以现有守卫递归模型（如 Bizjak 和 Møgelberg 在时间范畴上的模型）为基础，构建新语义。

实验结果

研究问题

• RQ1 当基范畴中不存在tick对象时，如何对上下文中的tick假设进行指称建模？
• RQ2 需要何种范畴结构来建模tick常量及其与类型族的交互？
• RQ3 能否使用伴随函子在范畴家族中可靠地解释tick演算？
• RQ4 伴随函子结构如何确保在存在tick时代换与类型推导的一致性？
• RQ5 该语义能否通过提供高维类型理论的组合性与可靠范畴基础，支持CloTT的未来扩展（如路径类型）？

主要发现

• 通过延迟函子 R^κ 的左伴随函子 L^κ 建模上下文中的tick，实现通过 L^κ⟦Γ⟧ 的上下文扩展。
• tick常量被解释为从 L^κ 到恒等函子的自然变换，捕捉了tick允许访问延迟值的语义。
• 该模型确保tick变量的代换与语义解释可交换，从而证明了类型规则的正确性。
• 该构造通过伴随关系引入tick处理，推广了先前的守卫递归模型。
• 该语义通过提供组合性与可靠范畴基础，支持未来扩展（如路径类型）。
• 该模型对tick演算片段是正确的，代换与类型在语义解释下保持不变。