[论文解读] The clone generated by the median functions

Michael Pinsker|ArXiv.org|Jan 10, 2004

Optimization and Mathematical Programming被引用 3

一句话总结

本文证明，任意奇数元中位函数在全序集上生成的克隆（clone）包含所有奇数元中位函数，从而确立了中位函数彼此之间可相互生成。关键结果是：由单个中位函数生成的克隆是最小克隆，且无论基础集合的大小如何，均包含所有奇数元中位函数。

ABSTRACT

Let X be a linearly ordered set of arbitrary size (finite or infinite). Natural functions on such a set one can define using the linear order include maximum, minimum and median functions. While it is clear what the clone generated by the maximum or the minimum looks like, this is not obvious for median functions. We show that every clone on X contains either no median function or all median functions, that is, the median functions generate each other.

研究动机与目标

• 确定中位函数在全序集上生成的克隆的结构。
• 研究中位函数在克隆内是否可相互生成，尤其与最大/最小函数进行比较。
• 刻画由中位函数生成的克隆中哪些函数是极小的或非极小的。
• 阐明奇数元中位函数在克隆生成中的作用及其相互可定义性。

提出的方法

• 定义 $ m^n_k $ 为 $ n $ 元组中第 $ k $ 小的元素，当 $ n $ 为奇数时，令 $ \operatorname{med}_n = m^n_{(n+1)/2} $。
• 利用变量识别，基于余数条件，在 $ n $ 几乎可被 $ k $ 整除时，从 $ \operatorname{med}_n $ 构造 $ \operatorname{med}_k $。
• 引入基于 $ b $-元多数函数的递归构造方法，从较小的多数函数生成更大的多数函数。
• 应用递推关系 $ r_{j+1} > r_j (\frac{3}{2} - \frac{1}{2}r_j^2 - \frac{1}{n_j-1}) $，证明 $ r_j \to 1 $，从而实现中位函数的构造。
• 证明对任意奇数 $ n \geq 3 $，有 $ \operatorname{med}_3 \in \langle \operatorname{med}_n \rangle $，并进一步推广至所有奇数 $ k \geq 3 $。
• 利用当 $ k \leq \lfloor n/2 \rfloor $ 或 $ k \geq \lceil n/2 \rceil $ 时 $ \min_2 $ 和 $ \max_2 $ 可由 $ m^n_k $ 定义的事实，说明非极值的 $ m^n_k $ 不是极小的。

实验结果

研究问题

• RQ1 由单个中位函数生成的克隆是否包含所有其他奇数元中位函数？
• RQ2 不同奇数元的中位函数是否可通过复合与变量识别相互定义？
• RQ3 哪些函数 $ m^n_k $ 是极小的？它们所生成的克隆在何种条件下是极小的？
• RQ4 多数函数在生成更大中位函数的过程中起什么作用？
• RQ5 对于偶数 $ n $ 的下中位与上中位（如 $ \operatorname{med}^{\text{low}}_n = m^n_{n/2} $）与真正的奇数元中位函数相比，在可定义性方面有何不同？

主要发现

• 由任意奇数元中位函数 $ \operatorname{med}_n $ 生成的克隆，无论基础集合的大小如何，均包含所有奇数元中位函数 $ \operatorname{med}_k $（$ k \geq 3 $ 且为奇数）。
• 由 $ \operatorname{med}_3 $ 生成的克隆是最小克隆；由于 $ \operatorname{med}_3 \in \langle \operatorname{med}_n \rangle $，因此由 $ \operatorname{med}_n $ 生成的克隆也是最小克隆。
• 对任意奇数 $ n \geq 3 $，可通过变量识别从 $ \operatorname{med}_n $ 构造 $ \operatorname{med}_3 $：$$ \operatorname{med}_3(x_1,x_2,x_3) = \operatorname{med}_n(x_1,\dots,x_1,x_2,\dots,x_2,x_3,\dots,x_3) $$，其中 $ x_1, x_2, x_3 $ 的重复次数分别为 $ \lfloor (n-1)/2 \rfloor $ 或 $ \lfloor (n-1)/2 \rfloor + 1 $。
• 当 $ 2 \leq k \leq \lfloor n/2 \rfloor $ 或 $ \lceil n/2 \rceil < k < n $ 时，函数 $ m^n_k $ 不是极小的，因为它们分别可生成 $ \min_2 $ 或 $ \max_2 $。
• 在 $ m^n_k $ 中，唯一极小的函数是最大值（$ k=n $）、最小值（$ k=1 $）以及奇数元中位函数（$ k=(n+1)/2 $）。
• 对于偶数 $ n $ 的下中位与上中位（如 $ \operatorname{med}^{\text{low}}_4 = m^n_{n/2} $）无法由奇数元中位函数定义，且 $ \operatorname{med}^{\text{low}}_4 $ 无法生成任何奇数元中位函数。